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第四节 函数展开成幂级数 二、函数展开成幂级数 返回 上页 下页 目录 * * 第十二章 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 一、泰勒级数 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : （Taylor series） 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 待解决的问题 : 1) 对此级数, 其收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 定理1 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 定理2 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为0. 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 (Expanding to power series) 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 例1 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 例2 将 类似可推出: 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 例3 将函数 可以证明， 上式称为二项展开式 . 注： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 由此得 对应 的二项展开式分别为 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 将所给函数展开成幂级数. 2. 间接展开法 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 域为 利用此题可得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 例5 将函数 展成 解: 的幂级数. 例6 将 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 式的函数 . 当 m = –1 时 思考与练习 1. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 前者无此要求. 2. 如何求 的幂级数? 提示: * * * *