[2018年最新整理]03_幂级数展开.ppt

例： f(z)=z/(z+1), (1|z|?) f(z)=z+1/z, (z= ?) f(z)=sinz, (z= ?) f(z)=[(z2-1)(z-2)3]/(sin zπ)3 函数f(z)的孤立奇点z=?为本性奇点的充分必要条件是下列两条中的任何一条成立： 1. f(z)在z=?的罗朗展开式中主要部分有无穷多项； 2. 不存在, 即当z??时, f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限. §3.4 解析延拓 解析延拓就是解析函数定义域的扩大. 原则上，解析延拓总可以利用泰勒级数进行, 具有唯一性. 思考： §3.1 复级数 第三章 复变函数级数 复数列的极限 复数列 另有 如果任意?0，存在正数N(?)使得|?n-?|?在nN时成立， 那么?称为复数列{?n}当n??时的极限，记作 此时也称复数列{?n}收敛于?. 例： ?n = (1+ni)/(1-ni), 收敛 ?n = n cos in=nchn，发散 定理 复数列 收敛于?的充要条件是 例： ?n = (-1)n + i/(n+1) 例： ?n = e-n? i/2 1. 复数项级数 复数列 ，其中 ，则 称为复数项无穷级数. 对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充要条件. 前n项和 称为级数的部分和. 若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和, 即 记作 若部分和复数列 无有限的极限，则 级数发散 。 定理4.1.1 柯西收敛准则 对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件. 级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是对于任意给定的 存在自然数N使得 当 时， (4.1.4) 其中 为任意正整数. 定理4.1.1 柯西收敛准则 对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件. 级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是对于任意给定的 存在自然数N使得 当 时， (4.1.4) 其中 为任意正整数. 柯西收敛准则 级数 收敛的充要条件： 对于任意给定的?0，存在自然数N使得，当nN时， ，其中p为任意正整数. （？如果p=1？） 定理 设 则级数 收敛于S的充要条件是级数的实部 和虚部 都收敛 定理 如 收敛，那么 也收敛，且不等式 成立。相应地，称原级数 绝对收敛; 否则称为条件收敛。 例： 若已知两绝对收敛级数 则两级数的柯西乘积绝对收敛 是定义在区域D上的复变函数序列， 则称表达式 为复变函数项级数（简称复函数项级数）. 如果对于D内某点z0，数项级数 收敛，则称该点为 的一个收敛点，若级数在区域D内的每一点都收 敛，则称该级数在区域D内收敛; 收敛点的集合称为 的收敛域. 若级数 发散，则称点z0为级数的发散点，发散点 的集合称为 的发散域. 2. 复变函数项级数 如果级数 在D内处处收敛，则其和一定是z的函数， 记为S(z)，称为 在D内的和函数. 复数项级数 收敛的充要条件是区域D内的各 点z对于任意给定的?0，存在N(z)存在，使得对任意正整 数p，当nN(z)时， 如果对于任意给定的?0，存在一个与z无关的自然数N， 使得对于区域D内(或曲线L上)的一切z均有，当nN(z)时， (p为任意正整数) 则称级数 在