2018年函数展开幂级数.doc

函数展开幂级数 　　?4 函数展开成幂级数 【目的要求】 　　1、了解函数的泰勒级数; 　　2、熟练掌握用间接法展开函数为幂级数( 　　【重点难点】 　　间接法展开函数为幂级数( 　　【教学内容】 　　一、泰勒级数 　　. , 前面我们讨论了幂级数所确定的和函数的性质下面讨论相反的问题即给 　　fx() 定函数能否找到一个幂级数该幂级数在某区间内收敛且其和函数恰好～～～ 　　fx()fx() 就是给定的函数在该区如果能找到这样的幂级数我们就说函数,～～ 　　f(x) 间内能展开成幂级数而该幂级数在收敛区间内就表达了函数～, 　　fx()xn，1 定义 4.1若函数在点的某邻域内具有阶导数则在该邻域内～0 　　x, 的任意一点有 　　,,fx()20,fxfxfxxxxx()()()()() ,，,，,， 00002! 　　(n)f(x)0n (1) ，(x,x)，R(x)～0nn! 　　(n，1)f(,)n，1,xxR(x),(x,x)() 其中介于与之间,0n0(n，1)! 　　fx()nxx,Rx() (1), , 式称为在处的阶泰勒公式称为泰勒公式的余项而0n 　　()n,,fxfx()()2n00, (2) Pxfxfxxxxxxx()()()()()(),，,，,，，,n000002!!n 　　fx()fx()nn,,nxx,xx,. , 称为在处的阶泰勒多项式当时在处的阶泰00 　　(2) 勒多项式就化为幂级数 　　()n,,,fxfx()()n200,()()()()()xxfxfxxxxx,,，,，,， ,00000n!2!n,0 　　()nfx()n0 (3) ，,，()xx0n! 　　fx()fx()xx,xx,(3) 幂级数称为函数在处的泰勒级数显然当时的泰勒,～～00 　　fx() 级数收敛于,0 　　fx()x,0 在处的泰勒级数0 　　()n()n,,,fx()ff(0)(0)nn20,xffxxx,，，，，，(0)(0) ,nn!2!!n,0 　　fx(). 称为的麦克劳林级数 　　fx()fx()xx , 在点的某一领域具有任意阶导数时在点处总可以写出对当00 　　fx(), ? ,? , 应的泰勒级数但该级数是否收敛若收敛是否一定以为和函数为此 　　. 我们不加证明的给出如下定理 　　fx()xUx() 定理 4.1设函数在点的某一邻域内具有任意阶导数则～00fx()fx()Ux()(1)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式0 　　Rx(): 中的余项满足n 　　limR(x),0 (x,U(x))n0 ,,,n 　　fx()xx , 注意函数的麦克劳林级数是的幂级数如果能展开成的幂级数～ 　　fx() 那么这种展开式是唯一的它一定等于的麦克劳林级数但是反过来如果～,～fx()fx()x,0 的麦克劳林级数在点的某邻域内收敛它却不一定收敛于因～,0 　　fx()fx()x,0 此如果在点处具有各阶导数则的麦克劳林级数虽然能写出～～0 　　fx() 来但这个级数是否在某个区间内收敛以及是否收敛于却需要进一步考～～ 　　察, 　　二、函数展开成幂级数 　　fx()x . 展开成的幂级数一般有直接法和间接法两种方法把一个给定函数 　　1. 直接展开法 　　fx()x 按下列步骤把给定函数展开成的幂级数的方法叫直接展开法: 　　()()nnfx()x,0fxf()(0)和 (1) ; 计算的各阶导数及其在处的导数值: 　　()n,fx()n0x (2) , 写出麦克劳林级数并求出收敛半径R,,n!n,0 　　lim()0Rx,fx()n (3) , . , 考察在收敛区间内余项的极限是否成立如果成立,,n 　　fx()(,),RR 则在内有展开式 　　()n,,ff(0)(0)2nxRR,,(,), . fxffxxx()(0)(0),，，，，，2!!n 　　xxfxe(), 例1将函数展开成的幂级数,()nx()nfxe(),fn(0)1,1,2,,, 解因为于是得级数因此～,n,x112n,，，，，1xxx ～,nn!2!!0n, 　　它的收敛半径R,，,, 　　,,xx , (0) 对于任何有限的数介于与之间有～ 　　,