函数展开成幂级数99922.ppt

无穷级数 第四节 函数展开成幂级数 一、问题的提出 四、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、小结 * （如下图） 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 三、泰勒(Taylor)中值定理 证明: 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 注意: 麦克劳林(Maclaurin)公式 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 证明（略） 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 解