2014届高三数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性.ppt

[题后悟道]　抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答． 3．抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断． [典例3]　已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数． [证明]　取x＝0，y＝0，得2f(0)＝2f 2(0) ，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1；再取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)．所以f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)是偶函数． [题后悟道]　在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解． 4．抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．(结合本节例2(2)学习)． 5．抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出． [题后悟道]　判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性还是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性． 从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，注重数形结合把抽象问题形象化、具体化，就可以做到化难为易、迎刃而解了． * 一、函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 二、周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小的 正数 最小正数 [小题能否全取] 1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是 (　　) 答案：D 答案：B 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是 (　　) 答案：B 3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)，则f(8)的值为 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)． ∴f(0)＝0，T＝4. ∴f(8)＝f(0)＝0. 5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是以2为周期 的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝________. 解析：据题意f(7)＝f(－1＋8)＝－f(1)， ∴f(1)＋f(7)＝0， 又f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(4)＋f(7)＝0. 答案：0 1.奇、偶函数的有关性质： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0； (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反． 2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期． A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是偶函数也不是奇函数 [答案]　A 利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对