2013版高考数学一轮复习23函数的奇偶性与周期性精品学案.doc

2013版高三数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用 2.3函数的奇偶性与周期性 【高考新动向】 一、考纲点击 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。 二、热点难点提示 1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点； 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题； 3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目. 【考纲全景透析】 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。 关于原点对称 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。 2、在公共定义域内， 亦即： （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。 3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 6、可逆性： 是偶函数； 奇函数； 7、等价性： 8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、周期性 1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。 2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。 【热点难点全析】 一、函数奇偶性的判定 1、相关链接 1利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 ，即： （1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数； ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 2图象法： 3性质法： 4一些重要类型的奇偶函数 函数f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数f(x)=ax-a-x为奇函数； 函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a0且a≠1）为奇函数； 函数f(x)=loga()为奇函数（a0且a≠1）; 函数f(x)= loga()为奇函数（a0且a≠1） 2、例题解析 〖例1〗讨论下述函数的奇偶性： 解：（1）函数定义域为R， ， ∴f(x)为偶函数； （另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。 （2）须要分两段讨论： ①设 ②设 ③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)； 由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数； （3），∴函数的定义域为， ∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 （－1，0）与（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数； （4）∵x2≤a2, ∴要分a 0与a 0两类讨论， ①当a 0时， ，∴当a 0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数 〖例2〗f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 　　解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－