2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第02单元第4节 函数的奇偶性与周期性.ppt

* 第四节 函数的奇偶性与周期性 基础梳理 1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于意 ,都有 ,则称函数y=f(x)为奇函数;如果对于任意x∈A,都有 ,则称函数y=f(x)为偶函数. x∈A f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 2. 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 . 关于原点对称 关于y轴对称 2011届高考迎考复习更多资源请点击： 高中教学网 3. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得 定义域内的每一个x值，都满足 ,那么函数f(x)就叫 做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，所有周期中存在 最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 典例分析 题型一 判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性. 分析 先求函数的定义域,然后判断f(x)与f(-x)之间的关系. 解 (1)由 ,得定义域为 [-1,1),关于原点不对称, ∴f(x)为非奇非偶函数. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. ∴f(x)为偶函数. (4)当x0时,-x0,则f(-x)= =f(x)； 当x0时,-x0,则f(-x)= -f(x). 综上所述,对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大, 解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简, 一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定 义域不变). 举一反三 1.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，下列函数： ② ④ 必为奇函数的是 。（填写序号) 解析 设y=g(x)，根据奇偶函数的定义判断,② ④g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x). 答案 ②④ 题型二 奇偶性的应用 【例4】 定义在R上的函数 (a＞0)为奇函 数，求 的值. 分析 利用奇函数的定义域求出a. 解 方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, ∴ 化简得 ， ∴a=4, 方法二：∵f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义， ∴f(0)=0,∴ =0,即 ,解得a=4, ∴ 学后反思 方法一是利用“若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 对任意x恒成立”，“对任意x恒成立”是解题关键.方法二要注意 “f(x)在x=0处有意义”这个条件,这种方法很常用，需要熟练 掌握. 举一反三 2. 已知函数 是奇函数,又 f(1)=2,f(2)3求a,b,c的值. 解析 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c),∴c=0. 由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)3, 得 ,解得-1a2. 又a∈Z,∴a=0或a=1. 若a=0,则b= Z,应舍去;若a=1,则b=1∈Z. ∴a=1,b=1,c=0. 题型三 函数的周期性 【例3】（14分)(2010·日照调研) 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,对任意实数x,都有f(x+2)=-f(x), 当-1≤x≤1时,f(x)= . (1)求证:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴; (2)当x∈ [1,5 ]时,求函数f(x)的解析式. 分析 通过f(x+2)=-f(x),与-f(x)=f(-x)的转化,来求函数的对称轴 与周期，技巧在于通过换元进行转化.求函数f(x)的解析式要利用函 数的周期性进行转化,转化到知道函数解析式的区间上. 解 (1)证明：因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x), 所以f(x+2)=f(-x)，……………………………………2′ 所以f [(x-1)+2 ]=f [-(x-1