高三一轮复习精题组函数的奇偶性周期性(有详细答案).doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家 . 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ..... 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 §2.3　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． (　×　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． (　√　) (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． (　√　) (4)若函数f(x)＝eq \f(x,?x－2??x＋a?)为奇函数，则a＝2. (　√　) (5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数．(　√　) (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. (　√　) 2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 (　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 答案　B 解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴a＝eq \f(1,3)，则a＋b＝eq \f(1,3). 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于 (　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 答案　A 解析　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 015)＝－2. 5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是________． 答案　(－1,0)∪(1，＋∞) 解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞). 题型一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(9－x2)＋eq \r(x2－9)； (2)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (3)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3). 思维启迪　确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． 解　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9－x2≥0,x2－9≥0))，得x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0,1＋x≠0))，得－1x≤1. ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2≥0,|x＋3|－3≠0))，得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ∴f(x)＝eq \f(\r(4－x2),?x＋3?－3)＝eq \f(\r(4－x2),x). ∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数． 思维升华