届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第二章第三节函数的奇偶性与周期性.ppt

第三节　函数的奇偶性与周期性 2．奇、偶函数的性质 (1)图象特征： 奇函数的图象关于_______对称，偶函数的图象关于 ________对称． (2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有_______的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有______的单调性． (3)奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)＝____ . 3．周期性 3．周期性 若f(x)对于定义域中任意x均有_______________ (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数． 若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期． 1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 【提示】　定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．(1)若y＝f(x＋a)是偶函数，函数y＝f(x)的图象有什么对称性？(2)如果y＝f(x＋b)是奇函数，函数f(x)的图象有什么对称性？ 【提示】　(1)f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 【答案】　B 【解析】　y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0. 【答案】　B 3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(8)＝f(0)＝0. 【答案】　B 【解析】　A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数． 【答案】　D 【思路点拨】　(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转化到区间[0，1]上． (2)根据f(－x)＝－f(x)求解． 1．解答本题(2)时因误用f(0)＝0而求得a＝1，当定义域包含0时，可用f(0)＝0，但应注意检验． 2．(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真． (2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同． (3)①f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|)；②若奇函数f(x)在x＝0时有定义，则f(0)＝0. 【解析】　(1)设x＞0，则－x＜0， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)＝ax2＋bx. 又f(－x)＝－f(x)， ∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0. (2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 又函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(0)＝0. ∴函数f(x)在R上是增函数， 由f(3－a2)＞f(2a)， 得3－a2＞2a，解得－3＜a＜1. 【答案】　(1)0　(2)(－3，1) (2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)． 【思路点拨】　证明f(x＋4)＝f(x)，进而运用周期性与奇偶性求解． 【尝试解答】　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝f(－1)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. (2013·惠州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 012)的值为(　　) A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2 【解析】　∵对于x≥0时，都有f(x＋2)＝f(x)， ∴2是f(x)(x≥0)的一个周期， 又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴f(－2 011)＋f(2 012)＝f(2 011)＋f(2 012) ＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝1. 【答案】　C 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 1.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)