高等代数课件(北大版)第四章矩阵§--公开课件（讲义）.ppt

数学与计算科学学院 §4.4 矩阵的逆 数学与计算科学学院 * 数学与计算科学学院 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程 * 数学与计算科学学院 一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ② 可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且 * 数学与计算科学学院 二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 　 性质： 余子式，矩阵 设　 是矩阵　　　　　中元素 的代数 * 数学与计算科学学院 证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 同理, * 数学与计算科学学院 非退化的），且 证：若　　　　由 所以，A可逆，且 两边取行列式，得 2、定理：矩阵A可逆当且仅当　　　 （即A 得 反过来，若A可逆，则有 * 数学与计算科学学院 则A、B皆为可逆矩阵，且 证： 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 从而　　　　 再由　　　　 即有， 3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 * 数学与计算科学学院 例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆. * 数学与计算科学学院 解：1）　 ∴ A可逆. 再由 有 * 数学与计算科学学院 ∴ 当　　　　　　　　　时，A可逆. 且由于 * 数学与计算科学学院 三、逆矩阵的运算规律 * 数学与计算科学学院 (5) 若A可逆，则 亦 可逆，且 (6) 若A可逆，则 亦 可逆，且 当 时，定义 注： 则有 * 数学与计算科学学院 设方阵 A 满足 证明： 与 皆可逆，并求其逆. 例2 由 即 故 A 可逆，且 再由 得 即 故 可逆，且 证： 得 * 数学与计算科学学院 四、矩阵方程 1. 线性方程组 令 则（1）可看成矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 * 数学与计算科学学院 ① 矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 2. 推广 ② 矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 ③ 矩阵方程 若A, B皆可逆，则 * 数学与计算科学学院 3. 矩阵积的秩 定理4 若 可逆，则 证： 令 又P可逆， 由定理2， 有 故 * 数学与计算科学学院 例3 解矩阵方程 解： 一般地， 可逆 . 注: * 数学与计算科学学院 练 习 已知 求矩阵B． 解：由 ，得 ，又 可逆，且 谢谢！ 数学与计算科学学院 §4.4 矩阵的逆 数学与计算科学学院