第四章-矩阵论.ppt

第四章 矩阵分解 第一节 矩阵的满秩分解 一.矩阵的满秩分解 * 本章主要介绍QR分解、满秩分解、奇异值分解。这些分解在计算数学、最优化问题中都扮演着十分重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数理论的发展起着关键的作用。 定义 设 ,若存在矩阵 及 ,使得 ，则称其为A的一个满秩分解. 定理4.3 任何非零矩阵均存在满秩分解 注：满秩分解不唯一 例 求下列矩阵的满秩分解. 第二节 矩阵的QR分解 定义 如果方阵可以分解成一个酉（正交）矩阵与一个复（实）上三角矩阵的乘积，即A=QR，此式称为A的一个QR分解. 矩阵的分解在数值代数中起着重要作用，它为计算特征值的数值方法提供了理论依据，并且是求解线性方程组的一个重要工具. 定理4.6 如果阶方阵 非奇异，则存在酉（正交）矩阵Q和复（实）的正线（主对角元素全为正实数）上三角矩阵R，使得 A=QR. 且除相差一个对角元的模（绝对值）全等于1的对角阵因子外，分解式是唯一的. 推论1 设矩阵 ，则存在n阶酉（正交）矩阵Q和r阶复（实）的正线上三角矩阵R使得 推论2 设A是n阶实对称矩阵，则存在正线上三角矩阵R，使得 . 例 用Schmidt正交化方法求 的QR分解. * *