第四章二节相似矩阵.ppt

* * 第二节 相似矩阵 一、相似矩阵的概念和性质 定义4.2 设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得 (4.7) 则称矩阵A与B相似，记作 “相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质： (1) 反身性：对任意方阵A,都有 。 因为 (2) 对称性：若 ，则 。 因 (3) 传递性：若 ，则 相似矩阵的特征值相同。 相似矩阵具有如下重要性质： 性质1 性质2 若 ，且A可逆，则B也可逆，且 性质3 若 ，则 ，其中m是正整数。 性质4 性质6 性质5 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵的秩相等。 相似矩阵的迹相等。 例2 已知矩阵 如果A与B相似，求x, y的值。 解法1 因为 ， 所以A, B有相同的行列式和迹。 于是tr (A)=tr (B), 即 ① 又 可得 解得 代入①得 解法2 相似矩阵 有相当的特征多项式。 由 有 即 计算两个行列式，得到 比较等式两边 同次幂的系数，得 解得 二、矩阵可相似对角化的条件 如果矩阵A可以与一个对角矩阵相似，则称矩阵A可相似对 角化(可对角化)。 定理4.7 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可与对角矩 阵相似。 例3 在4.1例6中，我们已经求得矩阵 的特征值 对应的线性无关的特征向量为 而特征值 对应的特征向量为 且 线性无关。 令 则 例4 设矩阵 判断A是否可对角化？ 解 矩阵A的特征多项式 (第2、3列加到第1列上) 由此得A的特征值 对于特征值 解齐次线性方程组 得A的对应于 的一个特征向量 对于特征值 解齐次线性方程组 可得其基础解系 由于2是A的二重特征值，对应于 的特征向量 仅有一个。 对于矩阵A，不能求出三个线性无关的特征向量， 因此A不能相似对角化。 定理4.8 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每 一个 重特征值 特征矩阵 的秩为 例5 判断下列矩阵A是否相似于对角矩阵 ， 如能，则求出P，使 解 由于 可得A的特征值为 (三重)。 对于 ，齐次线性方程组 的系数矩阵 因此A不可相似对角化。 可以看出： 所以齐次线性方程组 的基础解系含有 2个线性无关的向量。 (2) A的特征多项式 因此，A 的特征值为 (二重)， 对于 解齐次线性方程组 可求得其基础解系为 对于 解齐次线性方程组 可求得基础解系为 由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。 令 则 例6 设 试问A是否可与对角矩阵相似，并求 解 A的特征多项式 所以A的特征值为 (二重)。 对于 ，解齐次线性方程组 可得基础解系 对于 ，解齐次线性方程组 可得基础解系 由于A有三个线性无关的特征向量，故A可与对角矩阵相似。 令 则 所以 由此得 易求 因此 例7 设矩阵 的特征方程有一个一个二重根， 求 的值，并讨论A是否可相似对角化。 解 矩阵A的特征多项式 *