第四章节二节相似矩阵.ppt

第二节 相似矩阵 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、相似矩阵的概念和性质 定义4.2 设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得 “相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 相似矩阵的特征值相同。 相似矩阵具有如下重要性质： 性质1 性质2 性质3 性质4 性质6 性质5 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵的秩相等。 相似矩阵的迹相等。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例2 如果A与B相似，求x, y的值。 解法1 所以A, B有相同的行列式和迹。 于是tr (A)=tr (B), 即 又 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解法2 相似矩阵 有相当的特征多项式。 即 计算两个行列式，得到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、矩阵可相似对角化的条件 如果矩阵A可以与一个对角矩阵相似，则称矩阵A可相似对 角化(可对角化)。 定理4.7 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可与对角矩 阵相似。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例3 在4.1例6中，我们已经求得矩阵 对应的线性无关的特征向量为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 令 例4 设矩阵 判断A是否可对角化？ 解 矩阵A的特征多项式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于矩阵A，不能求出三个线性无关的特征向量， 因此A不能相似对角化。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理4.8 例5 解 由于 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因此A不可相似对角化。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2) A的特征多项式 可求得其基础解系为 Evaluation only. Created with Aspose.Sli