工程力学 教学课件 作者 顾晓勤第07章 直梁弯曲时的内力和应力 第4节 纯弯曲时横截面的正应力.ppt

* 第七章 直梁弯曲时的内力和应力 * 一、截面的惯性矩 如图所示，取截面上任一点K的邻域dA，K点到 z 轴、y 轴的距离分别为y、z，定义： 第四节 纯弯曲时横截面的正应力 惯性矩的计算 微元对z轴的惯性矩 微元对y轴的惯性矩 上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩。 微元对z轴的惯性矩 微元对y轴的惯性矩 工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形心主轴的惯性矩可在表7-1中查到。 表7-1 简单截面对形心主轴的惯性矩和抗弯截面模量 ， 抗弯截面模量 形心主轴惯性矩 图 形 结 论 截面对任一轴 z 的惯性矩等于该截面对过形心而平行于 z 轴的 zC 轴的惯性矩加上两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积。此结论对任一 y 轴也同样成立。 惯性矩的平行移轴公式 三、纯弯曲时横截面的正应力 1、几何关系 二、纯弯曲的概念 纯弯曲：剪力值为零，弯矩值是一常数，内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲。 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、又有剪力的弯曲变形称剪切弯曲（或横力弯曲）。 观察梁的变形：取一对称截面梁，在其表面上画上横向线m-m和n-n以及纵向线ab和cd，在梁的纵向对称面内施加一对等值、反向的力偶，梁处于纯弯曲状态。 结论：梁变形后，横向线依然保持直线，且与梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线，靠近梁顶面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。 平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴向拉伸或压缩变形。 中性层：梁在弯曲变形时，一部分纤维伸长，一部分纤维缩短，必然有一部分纤维既不伸长也不缩短的层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，当正应力不超过材料的比例极限时可应用胡克定律，因此可得cd处的正应力为 2、物理关系 纵向纤维线应变变化规律 结 论 3、静力平衡关系 中性轴必过截面的形心。 如图所示，在截面上任取一微面积dA，作用于该微面积上的轴向力为??dA。因为截面上所有轴向力的合力为零，则有： 截面所有微面积上的力对 z轴的合力矩即为作用在该截面上的弯矩： ——截面对z轴的惯性矩； ——梁截面的曲率； ——抗弯曲刚度。 注意 此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的，但对于工程中许多剪切弯曲的情况也适用； 分析表明，对于梁的长度l 远大于其截面高度h的细长梁，该式计算弯曲正应力是相当精确的。工程中对于l 5h 的情形，往往采用该式计算剪切弯曲时的正应力。 弯曲正应力的 一般计算公式