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第一篇 多元函数微积分 第1章 多元函数微积分 沈阳电视大学 基础部 姜洪文 例1 求 全微分的概念 如果函数 1。5二元函数的极值 1。二元函数的极值的定义 2。最大值与最小值应用问题 3。条件极值 二元函数的极值 定义：设函数 定理：（极值点的必要条件）设函数z=f(x,y)在点 内有定义且存在一阶偏导数，如果 定理：（二元函数极值点的充分条件） 1。6二重积分的概念和性质 1。二重积分的定义 2。二重积分的性质 二重积分的定义 设二元函数Z=f（X，Y）在平面有界闭区域D上有定义，将D任意地分成n个小区域 二重积分的性质 * [学习目标] 1。理解二元函数概念 2。了解二元函数的极限、连续的概念及性质。 3熟练掌握求偏导数和全微分的方法；掌握复合函数的微分法和隐 函数偏导数的求法。 4。记住多元函数极值存在的必要条件，会运用拉格朗日乘子法求解较简单条件极值的应用问题。 5。理解二重积分的定义、几何意义、线性性质和对区域的可加性。 6。熟练掌握在直角作标系下和极作标系下计算二重积分的方法，会在直角作标系下交换积分次序。 7。掌握求曲顶柱体的体积和曲面成的空间区域的体积问题。 第1章。多元函数微积分 1。1二元函数 1。2二元函数的偏导数 1。3全微分 1。4复合函数和隐函数的微分法 1。5二元函数的极值 1。6二重积分的概念和性质 1。7直角作标系中二重积分的计算 1。8极作标系中二重积分的计算 1。9二重积分的简单应用 1。1二元函数 1。二元函数的概念 2。二元函数的几何意义 3。二元函数的极限 4。二元函数的连续 1。二元函数的概念 定义：设平面上有一个非空点集D，如果有一个对应规律 f,使 每一个点（x,y) 都对应于唯一的一个实数Z，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的值称为函数值，记为f(x,y),即 Z=f(x,y) D 称为该函数的定义域，x,y称为 自变量，Z又称 因变量。 例1 求函数 解 定义域为 D={(x,y); } 例2 求函数 x y a o y x a 2。二元函数的几何意义 Z Y X M p 表示空间直角作标系中的一个曲面。 设二元函数z=f(x,y) 在定义域D内每取定一点P(x,y),就可得到相应的点Z。空间中的点 M（x,y,f(x,y))的作标满足关系式 Z=f(x,y).当点P(x,y)跑遍定义域D时， 相应的点M（x,y,f(x,y))就在空间描绘出一个曲面，这个曲面就是二元函数z=f(x,y) 的图形。 二元函数的极限 定义：设函数 z=f(x,y)在点 的各邻域内有定义，（在点 处不一定有定义），P（ x,y)是该邻域内异于 的任 意一点。如果当点 p(x,y) 以任何方式无限趋于点 时， 相应的函数值 f(x,y)无限趋于一个确定的常数A，则称A是函数 二元函数的连续性 定义：设有二元函数z=f(x,y),如果 （1）。函数z=f(x,y)在点 及其个邻域内有定义； （2） 定义 设函数z=f(x,y)在点 及其某个邻域内有定义，如果 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都连续，则称函数在区域D内连续。 例 设 1。2二元函数的偏导数 1。偏导数的概念 2。偏导数的几何意义 3。二阶偏导数 二元函数的偏导数 定义：设二元函数 Z=f(x,y)在点 函数Z=?(x?y)在点关于Y的偏导数定义为下列极限： 二元函数偏导数的几何意义 在空间直角作标系中，下式 表示曲面 x y z 请同学讨论，试用空间直角作标系表示偏导数 的几何意义。 二阶偏导数 定义：设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数： 在D内仍是x,y的函数，如果这二 个函数的偏导数也存在，则称这种偏导数是函数z=f(x,y)的二阶 偏导数。 例 设 定理：如果函数Z=f(x,y)的两个混合偏导数， 在区域D内连续，那么在区域D内这两个混合偏导数相等。 1。3 全微 分 1。全微 分的概念 2。几个定理 全微分的概念 定义：若函数 无穷小量，即 若Z=f(x,y)在区域D内每一点可微，则称f(x,y)在D内可微。 定理：若函数z=f(x,y)在点 定理：（可微的必要条件） 若函数z=f(x,y)在点 定理：（可微的充分条件） 若在点 在点 例1：计算 在点（1，-1）的全微分 解： 1。4复合函数与隐函数的微分法 1。复合函数微分法 2。全微分形式不变性 3。隐函数的微分法 复合函数和隐函数的微分法 复合函数的微分法