第一讲 涤毳元函数微积分1 .ppt

第一讲 极限与连续 一元函数微积分 高阶导数的求法 基本初等函数的微分公式 . . . 常用 麦克劳林公式： . . . . . . . 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 或无穷大 其他类型 步骤: 步骤: 步骤: 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？ 2o. 及时求出已定式的极限. 1o. 需要先验证条件. 求函数极值和最值 求极值的步骤： (1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点； 求[a,b]上连续函数f (x)的最值的步骤： (1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点； (2) 把 f (x)在这些点的值与f (a) , f (b)比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。 注：若连续函数f (x)在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值； 极小值就是最小值。 . 给定函数 y = f (x) ,求其竖直渐近线及斜渐近线。 . . . 两者的联系与区别？ 2.不定积分 联系：它们的导数相同，都是 f (x). 原函数是不定积分中的一个函数。 区别： 不定积分是函数族； 1. 原函数 4.微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 5. 不定积分的性质 3. 原函数存在定理 任何连续函数都有原函数。 但是连续函数的原函数不一定是初等函数。 . 6. 基本积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （第二换元） （分步积分） （分步积分） （第二换元） （用第二换元法算得） 8、第一类换元法 7、直接积分法 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 常见类型: 反用第一换元法： . . 常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于： 是否需要其它的代换， 具体问题，具体分析。 . 9、第二类换元法 10、分部积分法 分部积分公式 选择u的有效方法: (1)反对幂三指 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数； T----三角函数； E----指数函数； 哪个在前哪个选作u. (2)LIATE选择法 四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式 11 有理函数的积分 三角函数有理式的积分——可化为有理函数进行积分 1〉三角函数有理式可表为 2〉用万能置换可化为有理函数的积分，故三角 函数的有理式都能“积得出来”. 3〉万能置换 令 ，则 故 某些无理函数——有理化 为使其有理化，只需作变换 先配方，再作三角代换，即可有理化。 定积分 1.定义 实质: 通过分割,取介点,求和,取极限得到的一类特殊和式的极限.是个确定的数. 与被积函数和积分区间有关,与积分变量的符号无关. 用定积分的定义求极限 基本思想： a b x y 0 . . f (x) 2、定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质5 推论： （1） （2） 性质4 * 专题1. 极限的求法 (1)用初等数学(例如三角、对数、指数, 分子与分母同乘以某式,提公因式等)中的恒等变形,使能约分的约分, 能化简的化简. (2)用极限的四则运算,复合函数求极限, 连续函数求极限(代入法) *(4) 用等价无穷小代换 (3)有极限存在且不为0的因式, 可以先算出其极限提出来,再求剩下极限. *(5) 利用两个重要极限求极限. *(6)用洛必达法则求未定式的极限. (7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式 *(9). 用定积分的定义 (11). 用收敛级数的必要条件 *(8). 用夹逼定理 *(10). 用单调有界证明(单调递增有上界或者单调递减有下界) 设 收敛, 则 (12). 柯西收敛准则 (13). 施笃兹(Stolz)定理 专题2: 求极限问题的反问题 专题4: 函数的连续性,间断点 连续函数的性质: 闭区间上的有界 性、最值、零点、介值定理、根的存在性 专题3: 无穷小(大)及其阶 专题5: 导数的概念与几何意义 专题6: 各种导数的计算 参量函数求导(一阶、二阶) 隐函数求导 分段函数求导 莱布尼兹公式 专题7、利用导数研究函数的性态 单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近线和曲率 专题8、积分的计算 1.换元法与分部积分法 2.