第一 函数与微积分.doc

PAGE  PAGE 35 第一章 函数、极限与连续 函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础. 第一节 函数概念 在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置. 本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性. 本节主要内容 1 集合的概念及其运算 2 区间与邻域 3 函数概念 4 函数关系的建立 5 函数特性 讲解提纲： 一、集合： 1、 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 不含任何元素的集合称为空集 ,记作 ?. 表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . (2) 描述法： 2、集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合若必有则称 A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 若，且则称 A 与 B 相等,记作 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 交集 差集 余集 直积 3、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 ， 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 4、邻域: 5、常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量. 注意：常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量. 二、函数的概念： 定义 设和是两个变量,是一个给定的数集，如果对于每个数 ,变量按照一定法则总有确定的数值??它对应，则称是的函数，记作，数集D叫做这个函数的定义域. 函数的两要素: 定义域与对应法则. 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数． 三、函数关系的建立： 为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系； 四、函数特性： 1．有界性：设，定义域为D，D，恒有。，在[1，+)，有界；在(0,1)，无界。 2．单调性：设，定义域为D，D，当时，单调递增.当时，单调递减 奇偶性：偶函数 奇函数 4．周期性：D，D， 例题选讲： 几种特殊函数： 例1 常值函数. 定义域, 值域 例2 绝对值函数 例3 符号函数 例4 取整函数 , 其中, 表示不超过的最大整数. 例5 狄利克雷函数 例 6 取最值函数 例7 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) 与 (2) 与. 分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数 例8 函数定义域： 例9 求函数的定义域. 解：要使函数有意义，只要, 也就是,即 所以函数的定义域为 例10 设 求函数的定义域. 解：由题意得 所以函数的定义域为. 函数关系的建立： 例11 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式. 解: 函数特性 例12 证明 (1) 函数在上是有界的. (2) 函数在上是无界的. 例13证明函数在内是单调增加的函数. 证明：任取，不妨设 则有 即 故函数在内单调增加. 例14 设 且时其中a, b, c 为常数, 且证明为奇函数 证：令则 由消去得 为奇函数. 例15 设函数的图形与均对称，求证是以为周期的周期函数 证：由的对称性知 于是 故是周期函数，周期为 课堂练习 1. 用分段函数表示函数 2. 判别函数 的奇偶性. 第二节 初等函数 本节主要内容 1 反函数 2 复合函数 3 函数的运算