微积分课与件1-1 函数 .ppt

5.三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 一、 函数的概念 二、 函数的特性 五、 小结与思考判断题 三、 函数的运算 四、 初等函数 第一节 函 数 因变量 自变量 定义1 设 和 是两个变量， 是一个给定的数集，如果对于每个数 ，变量 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函数，记作 数集D叫做这个函数的定义域 函数值全体组成的数集 当 时，称 为函数在 的函数值. 称为函数的值域. 一、函数的概念 自变量 因变量 对应法则f 1. 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 例如 例如 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数． 函数的表示方法： 1）表格法 2）图形法 3）解析法 2. 单值函数与多值函数 例如 例1 符号函数 3. 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 例2 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数. 在 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1. 有理数点 无理数点 ? 1 x y o 例3 狄利克雷函数 如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式子表示称为分段函数,例1至例3均是分段函数. 二、函数的特性 M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 1.函数的有界性 2．函数的单调性: x y o x y o 例如,函数 在 内是单调增加的.如图所示. 例如,函数 在 内是单调减少的,在 内是单调增加的.如图所示. 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 偶函数的图形关于 轴对称. 奇函数 y x o x -x 奇函数的图形对称于原点. 不满足上述性质的函数为非奇非偶函数. 例如 与 是奇函数； 与 是偶函数； 与 是非奇非偶函数. 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 例如 函数 都是以 为周期的周期函数. 函数 都是以 为周期的周期函数. 并非所有的周期函数都有最小正周期. 例如函数 ( 为常数)及狄利克雷(Dirichlet)函数 为有理数 为无理数 均为周期函数,但没有最小正周期. 三、函数的运算 对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之外，还有复合运算与求反函数的运算. 定义2 设函数 的定义域与 的值域的交集非空，则 是 的复合函数. 例如 可看作由 复合而成. 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 例4 设 求 解 由于 的值域 的定义域 为 显然 故可进行复合运算，即 例5 设 求 解 显然给出的函数符合复合的条件，因此 例6 设 求 的定义域 为 是没有意义的. 不满足复合函数定义的条件，从而 例7 已知 求 解 因为 故 例8 函数 是由哪些函数复合而成的. 解 显然， 是由 复合而成. 定义3 设函数 的值域为 ，如果对于每一个 ，根据关系 能确定唯一的 ，则称得到的新函数 为 的反函数.亦称 与 互为反函数.函数的反函数常记为 相对于反函数 来说，原来的函数称为直接函数.它们图形的关系如下所示. D W D W 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 函数 在 上没有反函数， 但在 及 上分别有反函数 及 . 又 在 上没有反函数， 只是在 上的反函数. 例9 求函数