MATLAB实验多元函数微积分.doc

实验04 多元函数微积分 一 实验目的 2 二 实验内容 2 三 实验准备 2 四 实验方法与步骤 3 五 练习与思考 7 一 实验目的 1 了解多元函数、多元函数积分的基本概念，多元函数的极值及其求法； 2 理解多元函数的偏导数、全微分等概念，掌握积分在计算空间立体体积或表面积等问题中的应用； 3 掌握MATLAB软件有关求导数的命令； 4 掌握MATLAB软件有关的命令. 二 实验内容 1 多元函数的偏导数，极值； 2 计算多元函数数值积分； 3计算曲线积分，计算曲面积分. 三 实验准备 1 建立符号变量命令为sym和syms，调用格式为: x=sym(x) 建立符号变量x； syms x y z 建立多个符号变量x，y，z； 2 matlab求导命令diff的调用格式: diff(函数,变量名x) 求对x的偏导数； diff(函数,变量名x,n) 求对x的n阶偏导数； 3 matlab求雅可比矩阵命令jacobian的调用格式： jacobian([f;g;h],)给出矩阵 4 MATLAB中主要用int进行符号积分，常用格式如下： ① int(s)表示求符号表达式s的不定积分 ② int(s,x)表示求符号表达式s关于变量x的不定积分 ③ int(s,a,b)表示求符号表达式s的定积分，a，b分别为积分的上、下限 ④ int(s,x,a,b)表示求符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限 5 MATLAB中主要用trapz,quad,quad8等进行数值积分，常用格式如下： ① trapz(x,y)采用梯形积分法，其中x是积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量、用来表示被积函数. ② quad8(fun,a,b,tol)采用变步长数值积分，其中fun为被积函数的M函数名，a,b分别为积分上、下限，tol为精度，缺省值为1e-3. ③ dblquad(fun,a,b,c,d)表示求矩形区域的二重数值积分，其中fun为被积函数的M函数名，a，b分别为x的上、下限，c，d分别为y的上、下限. 使用help int，help trapz，help quad等查阅有关这些命令的详细信息. 四 实验方法与步骤 例1 定义二元函数. 解 （1）方法一：syms x y;z=x.^2+y.^3; （2）方法二：编写M文件fun7.m定义函数 function z=fun7(x,y) z=x.^2+y.^3; （3）方法三：利用inline函数：f=inline(x.^2+y.^3). 注：不同定义方式，调用格式不完全相同. 例2 绘出函数的图形. 解 程序为： x=linspace(-10,10,40);y=x;[X,Y]=meshgrid(x, y); Z=fun7(X,Y);surf(X,Y,Z),shading interp 结果如图2-10所示. 图2-10 例3 设，求. 解 输入命令：syms x y z;diff(x^2+2*y^2+y*z,y)，得ans=4*y+z. 利用jacobian命令：jacobian(x^2+2*y^2+y*z,[x y])，得ans=[2*x,4*y+z]，即矩阵 例4 设，求. 解 求的程序为：syms x y;diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,2) 结果为: ans=30*x^4+4*y^2 求的程序为：syms x y;diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,y,2) 结果为：ans=-36*y^2+4*x^2 求的程序为：syms x y;diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y) 结果：为ans=8*x*y. 注：diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,y)是求，而不是求 例5 设由所确定的的隐函数为，求. 解 令 输入命令:syms x y z;a=jacobian(x*y+y^2+2*z^2-5,[x,y,z]) 可得矩阵=[y,x+2*y,4*z] 利用公式可得 求的程序为：-a(1)/a(3)，结果为：-1/4*y/z； 求的程序为：-a(2)/a(3)，结果为：1/4*(-x-2*y)/z. 例6 求（1）在点临近的极小值. （2）在内的极值. 解 求多元函数的极值点和极小值minf，可用如下方法 方法一：X=fminsearch(f,x0)，用的是Nelder-Mead单纯形搜索法求解； 方法二：X=fminunc(f,x0)，用的是BFGS拟牛顿迭代法求解. 其中，x0是初始点. 若求极大值点，用（-1）乘函数，再求极小值点. （1）程序如下： f=(x(1)^2-3*x(2))^2+12*(1-2*x(2))^