多元函数微积分(IV).pptx

第四章多元函数微积分第一节多元函数微分第二节多元函数积分

第一节多元函数微分一、多元函数的定义二、二元函数的极限与连续三、偏导数及全微分四、多元函数的极值

一、多元函数的定义1.预备知识1）邻域点集称为点P0的?邻域.例如,在平面上,在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径?,也可写成点P0的去心邻域记为

在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域。平面上的方邻域为可以互相包含.

2）区域设有点集E及一点P:?若存在点P的某邻域U(P)?E,?若存在点P的某邻域U(P)∩E=?,则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.?若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E

?E的边界点的全体称为E的边界?若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通的，即D为连通集?若点集E的点都是内点，则称E为开集；?若点集E??E,则称E为闭集；?开区域连同它的边界一起称为闭区域.?连通的开集称为开区域,简称区域;?若存在某一正数r,使E?U（o，r），其中o是原点坐标，则称E为有界点集；否则称为无界点集

例如，在平面上开区域闭区域????

2.多元函数定义?定量理想气体的压强?三角形面积的海伦公式多变量之间依赖关系举例：

点集D称为函数的定义域;数集01称为函数的值域.02特别地,当n=2时,有二元函数03当n=3时,有三元函数04映射05称为定义在D上06的n元函数,记作07定义设非空点集

二、二元函数的极限与连续二元函数的极限

则称A为函数z=f(x,y)当时的极限，设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外)，如果当点P(x,y)无限地接近于点P0(x0,y0)时，记为定义1恒有为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限也叫做二重极限

例当(x,y)沿y轴趋向于原点，解考察函数

但是，当点(x,y)沿着直线y=kx(k?0)趋向于点(0,0)时，即当y=kx，而当点(x,y)沿y轴趋向于原点，有随着k的取值不同，时，

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，2.二元函数的连续性且等于它在点P0处的函数值，如果当点P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限存在，定义则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

若函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内的每一点连续，称函数f(x,y)在D内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处不连续，则称P0为函数f(x,y)的间断点

三、偏导数及全微分1.偏导数定义在点存在,则称此极限为函数的偏导数，记为的某邻域内极限设函数注意:

同样可定义对y的偏导数为则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,若函数在域内每一点处对x

二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的

2.高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:

其中第