第八章多元函数微积分.ppt

对于二元函 数 若对于任意实数t， 都有 且 (m为常数) 则称f(x,y)为m次齐次函数。当m=0时，称f(x,y)为0次 齐次函数，简称齐次函数。 需求的价格偏弹性表示一种商品的需求量的变化对自身价格变化的反应程度。 例4 解 于是 由此可见,对于这种区域D,如果先对y 积分,就需要把 区域D分成几个区域来计算.这比先对x 积分烦琐多了. 所以,把重积分化为累次积分时,根据区域D和被积函数 的特点,选择适当的次序进行积分. 计算二重积分  ， D: ︱x︱≤1,︱y︱≤1; D可表示为： 故 而 当 ７．求函数z=xy在(2,3)处，当Δx＝0.1与Δy=－0.2时的全增量Δz与全微分dz． 解 时， 补充：求下列各函数的偏导数： (1) z=arctan (2)　z=euv, u=ln , v=arctan ． (3) u= ，f 可微． (4)设 =ln ， ， ． ９．设u=f(x,y,z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程 和ez-xz=0确定，求 ． 解：方程 两边对 求导得 解得 方程 两边对 求导得 解得 从而 ３．求由ez-xyz=0所确定的z=f(x,y)的所有二阶偏导数． 解 设 ，则 １．求下列函数的极值： (3) z=xy(a-x-y)，a≠0． 解 由方程组 得四个驻点（0，0）， 又 在点（0，0）处， 该点不是极值点. 在点 处， ,该点不是极值点. 在点 处， ,该点不是极值点. 在点 处, ，所以函数在该点有极值 且当 时， ，函数有极大值 , 当 时， ，函数有极小值 . ２．求函数 在闭区域 D：-1≤x≤4,-1≤y≤1上的最大值和最小值． 解 由方程 得驻点（0，0），（2，2） （2，2） 应该舍去， D的边界可分为四部分： 在 上， 因为 所以 单调递减，因而 最大， 最小. 在 上， 令 得 . 而 分别是 在 上的最小值与最大值. 类似讨论可得：在 上 分别是 的最大值与最小值; 在 上 =-8分别是 的最大值与最小值. 比较 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到 是函数 在D上的最大值， . 5．设生产某种产品的数量f(x,y)与所用甲、乙两种原料的 数量x,y之间有关系式f(x,y)＝0.005x2y，已知甲，乙两种原 料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两种原 料各多少，使产量f(x,y)最大?最大产量是多少? 解 依题意知要求函数 =0.005 在条件 下的极值， 解方程组 得 或 （舍去） 得驻点（100，25），由问题实际意义知，函数的最值一定存在， 故当 时，产量 最大，最大产量为 . 由 补充:求曲线y= 上的动点到定点(a,0)的最小距离． 解 设 为曲线 上的任一点， 到定点 的距离为 ，则 问题可转化为求 在条件 下的最小值. 由 解方程组 得 由题意 故 . 于是当 时， 最短距离为 . 又 时，最短距离 . 解 设 为曲线 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．求曲顶柱体的体积 第八节 二重积分 采用的方法：分割、求和、取极限 一. 问题的引入 设有一立体,它的底是xOy平面上的有界闭区域D,其侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,顶是曲面z=f(x,y),这里假设f(x,y)≥0,且f(x,y)在D上连续. 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 1)分割闭区域D为n个小区域 2) 在每个小闭区域上任取一点 3)这n个平顶柱体的体积之和 ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作质量均匀的薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： （3）二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． （4）在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 三 .二重积分的性质 性质1 若区域D的面积为?,则 性质2 若?,?为