6抽象函数的奇偶性周期性对称性.doc

PAGE 2 PAGE 6 抽象函数的周期性与对称性 知识点梳理 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。 推论1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。 推论2. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。 总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程 推论3. 若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。 定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。 推论1. 若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。 推论2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。 总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。 定理3.若函?? 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。 推论2. 函数与函数的图象关于直线对称。 定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。 推论. 函数与函数图象关于点对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。 推论1.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。 推论2.若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。 推论3. 若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。 总结：x的系数同为1，具有周期性。 例题讲解： 题型一、抽象函数的对称轴 1、若函数对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ） A.f (2)f (1) f(4) B.f (1)f (2) f(4) C.f (2)f (4) f(1) D.f (4)f (2) f(1) 2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x－1)与y= f (1－x)的图象关于（ ）对称。 A.直线y=0 B.直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1 题型二、抽象函数的对称中心 1、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ） A. 恒小于0 B.恒大于0 C．可能为0 D．可正可负 2、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 题型三、抽象函数的周期性 3、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 4、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ） A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 5、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数 6、已知，，，…，，则（ ）. A. B. C. D.3 课后作业：姓名： 班级 座号 1、换题 2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数 3、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A.0 B. C.1 D. 4、已知，，，…，，则（ ）. A. B. C. D.3 5、ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( ) A.1 B. C. D.0 6、在数列则= 7、定义域为R，且对任意都有，若则= 8、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=