奇偶性与对称性和周期性.ppt

* (1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有________，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的____________． (2)性质：①f(x＋T)＝ f(x)常常写作 f ＝f ； ② f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为____． 最小正周期 一、函数的周期性 f(x＋T)＝f(x) (1)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称之为最小正周期．今后提到的三角函数的周期，如未特别指出，一般都是它的最小正周期． (2)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝C，所有的正数都是它的周期，但其中没有最小值，故常数函数没有最小正周期． 2.最小正周期 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b＋x)或 f(a － x)＝f(b － x) 则函数f(x)的周期T＝|a－b|. (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b＋x)或 f(a － x)＝ － f(b － x) 则函数f(x)的周期T＝2|a－b|. 3. 与周期有关的结论 1.定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称 特别的：定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 二、函数的对称性 2.定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于 点（ ，0 对称 特别的： 定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(-x+a), 则函数y=f(x)的图象关于 点(a ,0) 对称 . 3.定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)+f(-x+b)=2c, 则函数y=f(x)的图象关于 点（ ，c) 对称 定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)+f(-x+a)=2c, 则函数y=f(x)的图象关于 点（a ，c) 对称 4.定义在R上的函数y=f(x),,y=f(x+a)与y=f(-x+b) 的图象关于直线 对称 5、函数y=f(x)满足f(x+a)是偶函数， y=f(x)一定关于x=a对称。 函数y=f(x)满足f(x+a)是奇函数， y=f(x)一定关于点（a,0)对称。 6、函数y=f(2x+1)的对称中心是（1，0）。则 f(x)的对称中心是（ ） f(2x)的对称中心是（ ） 函数y=f(2x+3)的对称中心是（ ) 函数y=f(2x+1)是偶函数则 f(x)的对称轴是（ ） f(2x)的对称轴是（ ）． 函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为____． 三、由函数的对称性看周期 1.定义在R上的函数y=f(x)满足关于 x=a，x=b对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|. 2.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于 点（a，0）, （b，0）对称，f(x)的周期T＝2|a－b|. 3.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于 x=a,（b，0）,对称，则f(x)的周期T＝4|a－b|. 例：.定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称， 且是一个奇函数，则________是它的一个周期。 定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称， 且是一个偶函数，则_______是它的一个周期。 4a 2a 4.定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称，且f(x)的周期T＝2|a－b|. 则y=f(x)满足关于x=b对称 5.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于点（a，0）,且函 数f(x)的周期T＝2|a－b|，则函数f(x) 关于（b，0）对称， 6.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于点x=a对称，且f(x)＝－f(2|a－b| ＋x)，则函数f(x) 关于（b，0）对称。 1）定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称，2a是它的一个周期，则_____________________ y=f(x)是一个偶函数， 2a是它的一个周期，y=f(x)满足_________________