抽象函数奇偶性对称性周期性总结.doc

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指未给出具体函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足条件的函数, 如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。 它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点, 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难， 做抽象函数题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 若对于函数定义域内的任意都存在非零常数使得恒成立， 则称函数具有周期性，叫做的一个周期，且也是的周期。 所有周期中的最小正数叫的最小正周期。 分段函数的周期： 设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: 。 把沿轴平移个单位，即按向量平移即得在其他周期的图像：。 2、奇偶函数： 设或 ①； ②。 分段函数的奇偶性（略） 3、函数的对称性： （1）中心对称（即：点对称） ① ② ③ ④ ⑤ （2）轴对称（对称轴方程为） 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性； 若，则具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、 图象关于直线对称 推论1： 的图象关于直线对称 推论2、 的图象关于直线对称 推论3、 的图象关于直线对称 2、 的图象关于点对称 推论1、 的图象关于点对称 推论2、 的图象关于点对称 推论3、 的图象关于点对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数与图象关于Y轴对称 2、奇函数与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、互为反函数与函数图象关于直线对称 5、函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与 图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 （三）抽象函数的对称性与周期性 抽象函数的对称性性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 复合函数的奇偶性定义1 若对于定义域内任一变量x均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。定义2 若对于定义域内任一变量x均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明：复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x) y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）复合函数的对称性性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称推论1 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称函数的周期性a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)则函数y＝f(x)是周期函数且2|a|是它的一个周期。函数的对称性与周期性性质若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数T＝2|a－b|性质若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数且T＝2|a－b| 性质若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|, 即 （2）例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。 3、若的图像关于直线对称。 设 则. （四）常用函数的对称性 三、函数周期性的几个重要结论 1、( ) 的周期为，()也是函数的周期 2、 的周期为 3、 的周期为 4、 的周期为 5、 的周期为 6、 的周期为 7、 的周期为 8、 的周期为 9、