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对称性、奇偶性和周期性的综合运用.doc

发布:2018-10-12约3.23千字共7页下载文档
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PAGE \* MERGEFORMAT 7 函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一.函数的对称性 (一)函数 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2: 的图象关于直线对称. 推论3: 的图象关于直线对称. 求对称轴方法: 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 的图象关于点对称. 推论: 的图象关于点对称. 推论: 的图象关于点对称. 推论: 的图象关于点对称. 求对称中心方法: 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称:f(a+x)= f(b-x)中,自变量系数互为相反数(内反),函数值相等(差为零); 中心对称:f(a+x)= - f(b-x)+2c中,自变量系数互为相反数(内反),函数值和为定值. (二)两个函数的图象相互对称 1、函数与函数图象关于直线对称; 特别地,函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于直线x=0(y轴)轴对称; 函数与函数图象关于y轴对称; 求对称轴方法:令a+x=b-x,得 . 2、函数y=f(a+x)+c与y=-f(b-x)+d关于点中心对称; 特别地,函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于点(0,0)(原点)中心对称. 函数与函数图象关于原点对称函数. 求对称中心方法:横坐标令a+x=b-x,得 ,纵坐标y= 二. 函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x) (f(x) -f(-x)=0),那么函数f(x)叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴(x=0)对称. 推论:若y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),即y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) (f(x) +f(-x)=0),那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论:若y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x),即y=f(x) 的图像关于点(a,0)中心对称. 三.函数的周期性 1. 定义:对于定义域内的任意一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期. 2. 推论: ①( ) 的周期为T. ② 的周期为 ③ 的周期为 ④ 的周期为 ⑤ 的周期为 ⑥ 的周期为 ⑦ 的周期为 ⑧ 的周期为 ⑨ 的周期为 ⑩若 = 11 \* GB2 ⑾若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|. 推论:偶函数满足 周期 = 12 \* GB2 ⑿若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|. 推论:奇函数满足周期 = 13 \* GB2 ⒀有一条对称轴和一个对称中心的周期T=4|a-b|. 小结:①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点:“对于函数f(x)定义域内任意一个x”; ②对称性、周期性定义中条件,“内反表示对称性,内同表示周期性”; ③定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在. 题型分类 1. 求函数值 例1. 设是上的奇函数,当时,,则等于(-0.5) (A)0.5; (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5. 例2.偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,则f()的值等于(   ) A.-1 B. C. D.1 解:由于偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),,说明函数的周期为2,f(-x)=f(x) 当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,则对于,f()=f(2+)=f(2- )=3+=1故可知答案为D. 2.比较函数值大小 例3.若是以2为周期的偶函数,当时,试比较、、的大小. 解:是以2为周期的偶函数,又在上是增函数,且, 3、求函数解析式 例4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当时,f(x)=-2x+1,求当时求f(x)的解析式. 例5.设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式. 解:当,即, 又是以2为周期的周期函数,于是当,即时, 4、判断(证明)函数性质 例6.已知的周期为4,且等式对任意均成立, 判断函数的奇偶性. 解:由的周期为4,得,由得 ,故为偶函数. 例
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