对称性、奇偶性和周期性的综合运用.doc
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函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用
一.函数的对称性
(一)函数 的图象自身对称
1、轴对称
对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
图象关于直线对称.
推论1: 的图象关于直线对称.
推论2: 的图象关于直线对称.
推论3: 的图象关于直线对称.
求对称轴方法:
2、中心对称
对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
的图象关于点对称.
推论: 的图象关于点对称.
推论: 的图象关于点对称.
推论: 的图象关于点对称.
求对称中心方法:
小结: 轴对称与中心对称的区别
轴对称:f(a+x)= f(b-x)中,自变量系数互为相反数(内反),函数值相等(差为零);
中心对称:f(a+x)= - f(b-x)+2c中,自变量系数互为相反数(内反),函数值和为定值.
(二)两个函数的图象相互对称
1、函数与函数图象关于直线对称;
特别地,函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于直线x=0(y轴)轴对称;
函数与函数图象关于y轴对称;
求对称轴方法:令a+x=b-x,得 .
2、函数y=f(a+x)+c与y=-f(b-x)+d关于点中心对称;
特别地,函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于点(0,0)(原点)中心对称.
函数与函数图象关于原点对称函数.
求对称中心方法:横坐标令a+x=b-x,得 ,纵坐标y=
二. 函数的奇偶性
1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x) (f(x) -f(-x)=0),那么函数f(x)叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴(x=0)对称.
推论:若y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),即y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称.
2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) (f(x) +f(-x)=0),那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称.
推论:若y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x),即y=f(x) 的图像关于点(a,0)中心对称.
三.函数的周期性
1. 定义:对于定义域内的任意一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
2. 推论:
①( ) 的周期为T.
② 的周期为
③ 的周期为
④ 的周期为
⑤ 的周期为
⑥ 的周期为
⑦ 的周期为
⑧ 的周期为
⑨ 的周期为
⑩若
= 11 \* GB2 ⑾若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|.
推论:偶函数满足 周期
= 12 \* GB2 ⑿若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|.
推论:奇函数满足周期
= 13 \* GB2 ⒀有一条对称轴和一个对称中心的周期T=4|a-b|.
小结:①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点:“对于函数f(x)定义域内任意一个x”;
②对称性、周期性定义中条件,“内反表示对称性,内同表示周期性”;
③定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在.
题型分类
1. 求函数值
例1. 设是上的奇函数,当时,,则等于(-0.5)
(A)0.5; (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5.
例2.偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,则f()的值等于( )
A.-1 B. C. D.1
解:由于偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),,说明函数的周期为2,f(-x)=f(x) 当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,则对于,f()=f(2+)=f(2- )=3+=1故可知答案为D.
2.比较函数值大小
例3.若是以2为周期的偶函数,当时,试比较、、的大小.
解:是以2为周期的偶函数,又在上是增函数,且,
3、求函数解析式
例4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当时,f(x)=-2x+1,求当时求f(x)的解析式.
例5.设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.
解:当,即,
又是以2为周期的周期函数,于是当,即时,
4、判断(证明)函数性质
例6.已知的周期为4,且等式对任意均成立,
判断函数的奇偶性.
解:由的周期为4,得,由得
,故为偶函数.
例
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