空间中点、直线和平面的向量表示(60张PPT)+高中数学人教A版选择性必修第一册.pptx

第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时空间中点、直线和平面的向量表示;

学习目标

理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量.;

导语

牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?;

内容索引

一、空间中点的向量和直线的向量表示

二、空间中平面的向量表示三、求平面的法向量;

一、空间中点的向量和直线的向量表示;

问题1在空间中，如何用向量表示空间中的一个点?

提示在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就

可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.;

问题2空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用

向量表示直线l?;

设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在

直线1上的充要条件是存在实数t,使得AP=ta,即AP=tAB.如图2,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta,①

或OP=OA+tAB.②;

1.设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线1上取AB=a,设P

是直线1上任意一点，

(1)点P在直线1上的充要条件是存在实数t,使AP=ta,即AP=tAB.

(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使

=OA+ta

(3)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使

十tAB;

注意点：

(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：

①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.

(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.;

例1(1)已知直线l的一个方向向量m=(2,—1,3),且直线l过和

B(一1,2,z)两点，则y—z等于;

解析因为DD?//AA?,AA?=(0,0,1),

故直线DD?的一个方向向量为(0,0,1);因为BC?//AD?,AD?=(0,1,1),

故直线BC?的一个方向向量为(0,1,1).;

反思感悟理解直线方向向量的概念

(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.

(2)直线的方向向量不唯一.;

跟踪训练1(1)(多选)若M(1,0,一1),N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一

个方向向量是

B(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(一3,0,1)

解析∵M,N在直线l上，∴MN=(1,1,3),

故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线的一个方向向量.;

解析设B点坐标为(x,y,z),

则AB=λa(λ0),

即(x—2,y+1,z—7)=λ(8,9,-12),因为AB|=34,;

二、空间中平面的向量表示;

1.如图，设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面a

内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使

得OP=xa+;

2.如图，取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是

存在实数x,y,使OP=OA十-xAB+yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.;

3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

如图，直线l⊥a,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全;

三、求平面的法向量;

例2如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，

AD//BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC

=1,AD=试建立适当的坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量；

解以点A为原点，AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,1).

∵SA⊥平面ABCD,

∴AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.;

(2)求平面