空间向量运算的坐标表示(29张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册.pptx

第一章空间向量与立体几何

1.3.2空间向量运算的坐标表示;

掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.

掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决

相关的向量的平行、向量的垂直问题.

能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计

算公式.;

空间向量运算的坐标表示

设a=(a?,a?,a?),b=(b?,b?,b?),则a+b=(a?+b?,a?+b?,a?+b?),

a-b=(a?-b?,a?-b?,a?-b?),

λa=(λa,λa?,λa?),λ∈R,

a·b=ab?+a?b?+a?b?.;

设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底，则a=a?i+a?j+a?k,

b=bi+b?j+b?k,所以a·b=(a?i+a?j+a?k)·(b?i+b?j+b?k),利用

向量数量积的分配律以及i.i=j.j=k·k=1,i.j=j·k=k·i=0,

得a·b=a?b?+a?b?+a?b?.;

空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示

当b≠0时，a//b?a=λb?a?=λb?,a?=λb?,a?=λb?(λ∈R);

a⊥b?a·b=0?a?b?+a?b?+a?b?=0;

la=√a·a=Ja2+a?+a2;;

设P(x?,y?,z?),P?(x?,y?,Z?)

则PP?=(x?-x,y?-y?,z?-z?).;

例题巩固

例1如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中，E,F分别是BB?,D?B的

中点，求证EF⊥DA?.

D?C?

F

A?

E

DC

AB;

又A?(1,0,1),D(0,0,0),所以DA=(1,0,1).

所

所以EF⊥DA,即EF⊥DA.;

例2如图，在棱长为1的正方体ABCD-A?B?C?D?中，M为BC?的中点

E?,F?分别在棱A?B?,C?D?上，f1

(1)求AM的长.

(2)求BE?与DF?所成角的余弦值.;

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,

则点A的坐标为(1,0,0),点M的坐标为

于是;

所以

所

所以，BE?与DF?所成角的余弦值;

1.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则

A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)C.(1,2,5)D.(1,4,5);

2.若向量a=(1,λ,0),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为则

实数λ等于(C).

A.0BC.0或D.0或

解析：由题意得

解得λ=0或.故选C.;

A.1;

解析：以点A为原点，建立如图??示的空间直角坐标系，

则E(1,1,√2),;

4.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论

正确的是(

A.a//b,a//cB.a//b,alc

C.a//c,albD.alb,alc

解析：因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以allc.

因为a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b,故选C.;

分别为A?C,BC的中点，则AB·NM=(B

A.2B.-2C.√10;

6.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),点D在直线AB上，且AD=2DB,设

.若CD⊥AB,则λ的值为(;

解析：设D(x,y,z),则AD=(x+1,y-1,z-2),AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-z),;

7.如图，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?=AC=AB=2