空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册.pptx

1.1.2空间向量的数量积运算;

学习目标

1.掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养.

2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养。

3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养.

4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算

的核心素养.;

环节一创设情境引入课题

根据功的计算，我们定义了平面向量的数量积运算，一旦定义出来，我们发现这种运算非常有用，它能解决有关长度和角度问题，在空间向量中亦是如此。;;

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.

如图1.1-10,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,

则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作(a,b).

通常规定，0≤(a,b)≤π,这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且;

特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

由向量的数量积定义，可以得到：a⊥b?a.b=0,

a·a=aacos(a,a)=a2

a·a也记作a2;

思考

在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量(

向向量b的投影有什么意义?向量a向直线l的投影呢?向量a向平面β的投影呢?;

问题3:下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量股影?;

的投影向量.类似地，可以将向量向直线l投影(图1.1-11(2)豆;

如图1.1-11(3),向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B

作平面的垂线，垂足分别为A,B,得到向量AB,向量AB称为向量a在平面上β的投影向量.这是，向量a,向量AB的夹角就是向量a所在直线;

空间向量的数量积满足如下的运算律：

(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;

a·b=b.a(交换律)

(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

思考

1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac,则b=c,对于向量a,b,c,

由a.b=a·c,你能得到b=c吗?如果不能，请举出反例.;

思考

2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c,则(或对于向量

a,b,若a.b=k,能不能写成的形式?

3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,

(a.b)·c=a??(b·c)成立吗?为什么?;

环节四辨析理解深化概念

例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=5,AD=3,

AA=7,∠BAD=60°,∠BAA=∠DAA=45°.

求(1)AB·AD;(2)AC的长(精确到0.1).;

环节四辨析理解深化概念

例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=5,AD=3,

AA=7,∠BAD=60°,∠BAA=∠DAA=45°.

求(1)AB·AD;(2)AC的长(精确到0.1).

(2)ACi2=(AB+AD+AA)2

=AB2+AD2+AA2+2(AB·AD+AB·AA+AD·AA)

=52+32+72+2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)

=98+56√2

所以AC≈13.3;

环节五概念应用巩固内化

由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.

例3如图1.1-13,m,n是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m,l⊥n,;

分析：要证明l⊥a,就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与

平面垂直的定义).如果我们能在g和m,n之间建立

某种联系，并由l⊥m,l⊥n,得到llg,

那么就能解决此问题.;

证明：在平面α内作任意一条直线g,分别在直线l,m,n,g上取非零向量

i,m,n,g.

因为直线m与n相交，所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知，

存在唯一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn,

将上式两边分别与向量i作数量积运算，

得i·g=xi.m+yi.n.

因为i.m=0,i.n=0,所以i.g=0.所以⊥g

这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥a.;

环节六归纳总结反思提升

课堂小结

1.空间向量的夹角

(1)两向量的夹角是唯一确定的

(2)夹角范围

(3)特殊夹角及对应两向量的位置关系

2.空间向量的数量积的定义与几何意义

3.空间向量数量积的性质：证明向