空间向量基本定理(18张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册.pptx

1.共线向量定理

对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a//b

存在实数λ,使a=λb.

用途证明空间三点P,A,B共;

复习回顾

2.共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要

条件是存在实数对(x,y),使得p=x?+yb

用途证明空间四点P,M,A,B共面;

复习回顾

3.平面向量基本定理：

如果e?,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于

这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e?+λ?e2.

e?,e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

类似地，任意一个空间向量能否利用任

意三个不共面的向量e?,e?,e?来表示吗?;

我们所在的教室即是一个三维立体图，如果以教室的

一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢?;

空间向量的基本定理：

如果三个向量a,b,二不共面，那么对空间

任一向量p,存在一个唯一的有序实数对

{x、y、z},使p=xa+yb+zc

思路：作PQ//c,连接0Q

自Q点作向量a、b的平行线

p=0Q+QP

=xa+yb+zc;

基向量：

定理中的a,b,c确定的一个集合叫做空

间的一个基底，其中a,b,c都叫做基向量。

注：1、空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；

2、零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们不是零向量；

3、一个基底指一个向量组，一个基向量指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。;

空间向量基本定理

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长

度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把

空间向量进行正交分解.;

小试牛刀

1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若{0A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C四点共面.(√)

(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量.(√)

(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.(×)

2.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b

构成基底的向量是(D)

A.aB.bC.a+2bD.a+2c;

如裸本是面例1OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且,用OA,OB,OC表示OP;

课本12页练习题

1.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，从a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量p=a+b,

q=a—b构成空间的另一个基底?

2.已知O,A,B,C为空间的四个点，且向量OA,OB,O不构

成空间的一个基底，那么点0,A,B,C是否共面?

3.如图，已知平行六面体OABC-OAB℃,点G是侧面BB℃℃的

中心，且OA=a,OC=b,O0=c.

(1){a,b,c}是否构成空间的一个基底?

(2)如果{a,b,c}构成空间的一个基底，那么用它表示下列向

(第3题);

给我一个支点，我可以撬起地球.

——阿基米德;

给我一个基底，

我还你一个空间!;

例2娇图33,厢六面体ABCD-A,B?C?D,中，AB=4,AD=4,AA

=5,∠BAA?=60°,∠DAA?=60°,M,N分别为D?C?,C?B?的中点.

求证：MN⊥AC?.

分析：要证MN⊥AC?,只需证明MN·AC?=0.

由已知，{AB,AD,AA?}可构成空间的一个基底，

把MN和AC?分别用基底表示，

然后计算MN·AC?即可.

证明：设AB=a,AD=b,AA?=c这三个向

量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底，;

我们用它们表示MN,AC,则