数学物理方程课件第五章傅立叶变换.ppt

(4) 延迟定理 x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。 证明 * 证明 # (5) 位移定理 频域的位移 (6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系 若 和 则 卷积： * 证明 # * 一维变换到高维空间中的变换 三维 相互独立 也相互独立 6. 多重傅里叶积分 矢量表示 * 5.3 函数 1. 作为广义函数的引入 物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。 * 函数作为密度被引入。 例如，电子电量是有限的 。 电子的半径的测量上限 随测量精度提高，上限越来越小，趋于零。 理论研究也得出电子半径为零的结果。 于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷 密度就由 函数来表示。 * 数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限 一维 考虑线质量密度 全空间总质量 * 的极限 全空间总质量不变 密度 因此，作为广义函数引入 函数： 则 * 又，对 2. 一些性质 (1) 偶函数 从图形可以看出 (2) 阶跃函数或亥维赛单位函数 * (3) 挑选性 对连续函数 (4) 表示连续量 持续于 [0, 1] 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力的冲量可以看作瞬时力 的冲量 * (5) 复合函数 若 的实根 全部是单根，则 例 * 3. 其它表示 4. 傅里叶变换 * 例 阶跃函数的傅里叶变换 不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用某种变通办法 定义函数系列： ，显然 * 5. 多维情况 小结 傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换，提供在频域表示函数性质的方法。 B.周期函数变换为离散级数,非周期函数变换为积分。 C.傅立叶积分的若干性质,有利于其应用。 D. 函数和阶跃函数。 * 第五章 傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 5.1 傅里叶级数 周期函数的傅里叶展开； 奇函数和偶函数的傅里叶展开； 有限区间中的函数的的傅里叶展开； 复数形式的的傅里叶展开；。 * 复变项级数 幂级数 * 的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族： 1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 * a. 2l 周期性 b. 按三角函数族展开 不同的函数形式由不同的组的 和 表示。 同样 (5.1.3) 此为傅里叶级数展开 * 三角函数组具有正交性 (5.1.4) 因此 (5.1.5) * * 此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 狄里希利定理 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且 其中 * 例 交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。 解 周期为 * * 和 频谱 各个频率分量的幅度 频率 幅度 2 0 E * 通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频域中的表示。 因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。 频率 幅度 2 0 E * 2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 是奇函数， 是偶函数。 故 奇函数 f(z) 有 其中 偶函数 f(z) 有 其中 * 例 周期 矩形波 奇函数 * 频域中的图示由你们给出 * 3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l). 可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。 * 例 偶延拓 奇延拓 * 4. 复数形式的的傅里叶 其中 * 例 矩形波 * 5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？ 有限区间的函数可