数学物理方法第五章傅立叶级数.ppt

δ函数的形式定义称这样的函数为δ函数，记为δ(x)和δ(x-x0)说明：δ函数，并不是通常意义下的函数：它没有给出函数与自变量之间的对应关系，或者说，它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的。第94页,共107页，星期六，2024年，5月δ函数表示的是函数序列的极限它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义。应该理解为第95页,共107页，星期六，2024年，5月性质的函数序列，或是具有凡是具有性质的函数序列，它们的极限都是δ函数第96页,共107页，星期六，2024年，5月几个含参函数的普通极限δ(x)第97页,共107页，星期六，2024年，5月δ函数是一种广义上的函数第98页,共107页，星期六，2024年，5月δ（狄拉克）函数的性质1、奇偶性质2、分析性质阶跃函数或亥维赛单位函数3、选择性质对任一个定义在的连续函数有第99页,共107页，星期六，2024年，5月4、变换性质5、如果的实根全是单根，则6、其它性质第100页,共107页，星期六，2024年，5月δ函数的复数形式的傅立叶积分由有傅立叶变换所以傅立叶积分为注意：此处δ函数的傅立叶变换当视为通常函数的傅立叶变换系列的极限第101页,共107页，星期六，2024年，5月狄拉克函数的应用1、描述功能位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为2、分解功能质量密度为ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加电荷密度为ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加信号函数为ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加第102页,共107页，星期六，2024年，5月3、计算功能计算函数在间断点的导数；计算特别函数的傅立叶变换。第103页,共107页，星期六，2024年，5月狄拉克函数的推广问题：三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。三维狄拉克函数：位于处质量为m的质点，质量体密度为位于处电量为q的点电荷，电荷体密度为第104页,共107页，星期六，2024年，5月例1：计算的三重傅立叶变换，式中r为球坐标中的极径，c为正实数。解：由的三重傅立叶变换为第105页,共107页，星期六，2024年，5月第106页,共107页，星期六，2024年，5月例2：求阶跃函数的傅立叶变换.解：由发散，所以H（x）的傅立叶变换不存在，可把H（x）视为函数系列。在的极限。(单位阶梯函数u(t))第107页,共107页，星期六，2024年，5月******************相当于单调函数，可逆。******复形式形式的对称Fourier积分与Fourier变换F(ω)被称为Fourier变换的像函数f(x)称为Fourier变换的原函数第62页,共107页，星期六，2024年，5月傅立叶变换的意义数学意义从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数。应用意义把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。物理实现分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。第63页,共107页，星期六，2024年，5月例3求矩形脉冲f(x)=hrect(x/2T)的复数傅立叶变换。代入傅立叶积分公式，得解：由第64页,共107页，星期六，2024年，5月证明：3、傅里叶变换的基本性质(1)导数定理#第65页,共107页，星期六，2024年，5月(2)积分定理记则由导数定理即#第66页,共107页，星期六，2024年，5月(3)相似性定理通常将变换f(x)f(ax)称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的a倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。#证明第67页,共107页，星期六，2024年，5月(4)延迟定理x看作时间，记时由x到x-x0表示提前了x0。记作“延迟”是习惯说法。证明第68页,共107页，星期六，202