数学物理方程第五章格林函数法.doc

第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet问题的解.本章利用Green函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet问题. 另外，也简单介绍利用Green函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §51 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson方程边值问题时，要经常利用格林（Green）公式，它是高等数学中高斯（Gauss）为中的区域，充分光滑. 设为非负整数，以下用表示在上具有阶连续偏导的实函数全体，表示在上具有阶连续偏导的实函数全体. 如，表示在具有一阶连续偏导数而在上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将简记为，简记为或等等. 设，和，则成立如下的Gauss公式 (1.1) 或者 (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton）算子： ，并记，则Gauss公式具有如下简洁形式 (1.3) 其中为的单位外法向量. 注1 Hamilton算子是一个向量性算子，它作用于向量函数时，其运算定义为 形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量的散度div. 而作用于数量函数时，其运算定义为 ， 形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数的梯度grad. 设，，在(1.3)中取得 (1.4) 直接计算可得 (1.5) 其中. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得 (1.6) (1.6)称为Green第一公式. 在(1.6)中将函数，的位置互换得 (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得 (1.8) (1.8)称为Green第二公式. 设点，点，. 引入函数 ，注意是关于六个变元和的函数且. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量的偏导数. 直接计算可得 即在中除点外处处满足Laplace方程. 设充分小使得. 记, 则. 在Green第二公式中取，. 由于在区域内有，故有 或者 (1.9) 在球面上， ， 因此 (1.10) 其中. 同理可得 (1.11) 其中. 将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令，此时有 ，， 并且区域趋向于区域，因此可得 ， 即 (1.12) (1.12)称为Green第三公式. 它表明函数在内的值可用内的值与边界上及的值表示. 注2 在二维情形，Green第一公式和Green第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取，其中，， =. 此时Green第三公式也成立. §52 Laplace方程基本解和Green函数 基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green函数，由此给出相应区域上Laplace方程或Poisson方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet问题为例介绍Laplace方程的基本解和Green函数方法的基本思想. 5．2.1 基本解 设，若在点放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数) (2.1) 易证： 在满足 进一步还可以证明，在广义函数的意义下满足方程 (2.2) 其中. 称为三维Laplace方程的基本解. 当=2时，二维Laplace方程的基本解为 (2.3) 其中，，. 同理可证，在平面上除点外满足方程，而在广义函数意义下满足方程 (2.4) 其中. 注1 根据Laplace方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace方程的基本解. 5．2.2 Green函数 考虑如下定解问题 设，是(2.5)— (2.6)的解，则由Green第三公式可得 (2.7) 在公式（2.7）的右端，其