离散数学-第五章-函数.ppt
第四章函数;函数是最根本的数学概念之一，也是最重要的数学工具。初等数学中函数定义为“对自变量每一确定值都有一确定的值与之对应的因变量”；高等数学中函数又被定义为两集合元素之间的映射。;现在，我们要把后一个定义作进一步的深化，用一个特殊关系来具体规定这一映射，称这个特殊关系为函数，因为关系是一个集合，从而又将函数作为集合来研究。离散结构之间的函数关系在计算机科学研究中也已显示出极其重要的意义。我们在讨论函数的一般特征时，总把注意力集中在离散结构之间的函数关系上，但这并不意味着这些讨论不适用于其它函数关系。;4.1.1函数的定义
4.1.2特殊函数类;例：考虑下面几个由图表示的集合A到集合B的关系。
在这６个关系中，后４个关系R3，R4，R5，R6与
R1，R2不同，它们都有下面两个特点：
〔1〕其定义域为A；
〔2〕A中任一元素a对应唯一一个B中的元素b。;第四章函数
4.1函数的根本概念;第四章函数
4.1函数的根本概念;第四章函数
4.1函数的根本概念;4.1.1函数的定义
1)定义
定义：设X，Y为任意集合，如果f为X到Y的关
系〔f?X×Y〕，且对每一x∈X，都有
唯一的y∈Y，使〈x,y〉∈f，称f为X到
Y的函数，记为f：X→Y。;换言之，函数是特殊的关系，它满足
〔1〕函数的定义域是X，而不能是X的某个真子集
(即dom(f)=X)。
〔2〕假设〈x,y〉∈f，〈x,y′〉∈f，那么y＝y′〔单值
性〕。;说明：由于函数的第二个特性，常把〈x,y〉∈f或
xfy这两种关系表示形式，在f为函数时改为
y=f(x)。这时称x为自变量，y为函数在x处的
值；也称y为x在f作用下的像，x为y的像源。
一个自变量只能有唯一的像，但不同的自变量
允许有共同的像。〔函数的上述表示形式不适
用于一般关系。因为一般关系不具有单值性。〕;例1：设A={a,b}，B={1,2,3}，判断以下集合是否
是A到B的函数。
F1={〈a,1〉,〈b,2〉}，
F2={〈a,1〉,〈b,1〉}，
F3={〈a,1〉,〈a,2〉},
F4={〈a,3〉};例2：以下关系中哪些能构成函数？
〔1〕{〈x,y〉|x,y∈N,x+y10}
〔2〕{〈x,y〉|x,y∈N,x+y=10}
〔3〕{〈x,y〉|x,y∈R,|x|=y}
〔4〕{〈x,y〉|x,y∈R,x=|y|}
〔5〕{〈x,y〉|x,y∈R,|x|=|y|};说明：对于函数f：X→Y，f的前域dom(f)=X就是函
数y=f(x)的定义域，有时也记为Df；f的值
域ran(f)?Y,有时也记为Rf。
对于Df=X，f(X)也可用来表示f的值域，即
f(X)={y|y∈Y∧?x(x∈X∧y=f(x))}。并称f(X)
为函数f的像。
注意：区别函数值和像两个不同的概念。函数值f(x)
∈Y，而像f(A)?Y。
;2)函数的相等
定义：设f:A→B，g:C→D，如果A=C，B＝D，
且对每一x∈A，有f(x)＝g(x)，称函数f等
于g，记为f=g。;3)函数的个数
思考：设A={a,b},B={1,2,3}，由A→B能生成多
少个不同的函数？由B→A能生成多少个
不同的函数？
解:设fi:A→B(i=1,2,…，9)，
gi:B→A(i=1,2,…，8)，
;f1={〈a,1〉,〈b,1〉}
f2={〈a,1〉,〈b,2〉}
f3={〈a,1〉,〈b,3〉}
f4={〈a,2〉,〈b,1〉}
f5={〈a,2〉,〈b,2〉}
f6={〈a,2〉,〈b,3〉}
f7={〈a,3〉,〈b,1〉}
f8={〈a,3〉,〈b,2〉}
f9={〈a,3〉,〈b,3〉};g1={〈1,a