离散数学课件 第五章 代数结构_2.ppt

5-5 阿贝尔群和循环群 定义 5-5.1 设 G,?为一群,若 ? 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群(Abel group)。 例：由于加法运算“+”满足交换律，因此群 Z，+ ，R, +，Q, +，C, +都是交换群。 定理 5-5.1 设 G,?为一群, G,?是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b?G，有 （a?b）?（a?b）=（a?a）?（b?b） 即： (a*b)2 = a2*b2 证明: 1）充分性 ?a,b?G，有(a?b)?(a?b)=(a?a)?(b?b) 左端 = a?(b?a)?b 右端 = a*(a*b)*b 即 a?(b?a)?b = a?(a?b)?b 由可约性得，用a-1左?上式，再用b-1右?上式，得 (a?b)=(b?a) 2）必要性 从“G,?是阿贝尔群”的结论出发 ，推出“(a?b)?(a?b)=(a?a)?(b?b)”。（证略） 补充：元素的阶（a的阶，记为|a| ） 1．元素a的幂的定义 定义：给定群G, * ,?a?G,若n?N,则定义: a0 = e, an+1 = an * a, a-n = a-1 * a-1 * ? * a-1= (a-1)n =(an)-1 对m用归纳法可证：am * an = am+n (m,n?I), 对k用归纳法可证：(am)k = amk (m,k?I) 补充：元素的阶（a的阶，记为|a| ） 2．元素a的阶的定义 设G，*是群， ?a ? G能够使 am=e的最小正整数m，称为a的阶。若m不存在，则说a是无阶的。 例1：在整数加群z,+中，0的阶是1，其余元素均无阶。 例2：在群{1,-1},*中，-1的阶是2，1的阶是1。 例3：在整数加群z6,+6中，求各元素的阶： 1 2 3 4 5 0 6 3 2 3 6 1 循环群与生成元 定义5-5.2 设G,?为群，如果在G中存在元素a,使得G中的任何元素都可表示为a的幂（约定a0=e,ak=a*a*…*a(k个)）,称G,?为循环群，这时a称为循环群G的生成元。 例1：整数加群I,+是循环群，其生成元为 。 循环群举例 例：循环群 {0°,60°,120°,180°,240°,300°}，★， 0o是该循环群的幺元。 60o是该循环群的生成元。 (60o)1=60o, (60o)2=60o★60o=120o, (60o)3=60o★60o★60o=180o,(60o)4=240o, (60o)5=300o (60o)6=0o=e, (60o)7=60o, (60o)8=120o, …… 循环群的性质 定理 5-5.2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证 设 G,?是一个循环群，a是该群的生成元，则对于任意的x,y?G ，必有r,s?I，使得 x= ar 和 y = as 而且 x?y = ar?as = ar+s = as+r = as?ar = y?x 因此，运算?可交换，是阿贝尔群。 循环群中生成元的阶（周期） 定理 5-5.3 设G,?为循环群，a?G是该群的生成元，如果G的阶数是n ，即|G|= n ，则an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群G,?的幺元。 n是使得an=e成立的最小正整数，称为元素a的阶或周期。 定理 5-5.3 的证明 证明思路:先证a的阶为n。 设对于某个正整数m,mn,有am=e。 那么，由于 G,?是一个循环群，所以对于G中任意的元素都能写为ak (k? I),而且k=mq+r,其中q是某个整数,0≤rm,则有 ak=amq+r =(am)q?ar =(e)q?ar =ar 因此，G中每一元素都可写成ar，G中最多有m个元素。与 |G|= n矛盾。所以am=e是不可能的。 再用反证法证明a ， a2 ，... ， an互不相同。 设ai= aj，其中1≤ij≤n ，就有aj-i =e ，而且1≤j-in ，这已经有上面证明是不可能的。 循环群中生成元的阶 例1：循环群 {0°,60°,120°,180°,240°,300°}，★， 60o是生成元； e=0o；6是使(60o)n=e的最小正整数，故60o的周期(阶)为6。 例2：{5j|j?I},+是无限循环群, 其中-5,5是均生成元。 例3：