数学物理与方程格林函数 .ppt

* 第十二章 格林函数 12.1 泊松方程的格林函数法 有源问题 定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分 定解＝积分＋边界条件 （格林函数法） 1. 源问题 例 静电场 处静电场 a.无界空间 b.有界空间 边界上可能出现感应电荷 处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果。 计算变成 由 计算感应电荷，然后 是否能一次解决 定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分 定解＝积分＋边界条件 （格林函数法） 2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界 T 设 和 在 T 中具有连续二阶导数， 在 上有连续一阶导数。由高斯定理 感应电荷 是边界问题 第二格林公式： 交换 和 ： 与上式相减 即 法向导数 3. 边值问题 泊松方程 边界条件 定义在 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题 4. 泊松方程的基本积分公式 点源泊松方程 单位负电荷在 奇异，不能化为 面积分。在 T 中挖掉半 径 ，在 的小球 。 小球边界 。 边界条件无法带入积分之中！ 在 ， 。 和 连续。 这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。 解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的 积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。 格林函数： 将冲量定理法扩展到空间坐标 对两端固定的弦 问题变成 5. 边值问题的格林函数 还需知道点源泊松方程度解的边界条件。 第一边值问题(狄里希利问题) 第三边值问题 第一边值问 题格林函数 第三边值问 题格林函数 在 ，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数， 具有同一个解，可作变换： 12.2 电像法求格林函数 第一边值问 题格林函数 导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。 将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示 *