数学物理方法第十章_格林函数法解析.ppt

* * 10.3 无界空间的格林函数 基本解 无界区域中格林积分公式中的面积分应为零，故有 选取 和 分别满足下列方程 一、三维球对称 对于三维球对称情形，我们选取 两边在球内积分 利用高斯定理得到 故有 使上式恒成立，有 因此 ， ,故得到 对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为 代入 得到三维无界区域问题的解为 上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式 二、二维轴对称情形 用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即 因为 由于 只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在 圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即 选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果 令积分常数为0，得到 因此二维轴对称情形的格林函数为 得到二维无界区域的解为 10.4 用电像法确定格林函数 用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 一、电像法定义 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点 对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零 这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）． 二、 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 拉普拉斯方程的第一边值问题求解 物理模型：若在 处放置一正单位点电荷 则虚设的负单位点电荷应该在 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为 据上述物理模型可求解下列定解问题 例1 定解问题： 解： 根据第一边值问题，构建的格林函数满足 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源） 构建格林函数为 边界外法线方向为负 轴，故有 代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由项 ,则由 得 或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式 得到 称为上半平面的拉普拉斯积分公式． 三、 泊松方程的第一边值问题求解 例2 定解问题： 根据第一类边值问题的解公式得到 根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到 因为边界上的法线为负y轴，故 得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解 例.3 在上半空间 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 解：构建格林函数 满足 四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为 即有 为了把 代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式， 需要先计算 即为 代入即得到 这公式叫作上半空间的拉普拉斯积分． 五、 圆形区域第一边值问题的格林函数构建 物理模型：在圆内任找一点 放置一个单位电荷 圆外M1放置另一个单位电荷