第三节 与中心极限定理 .ppt

* 第五章 大数定律和中心极限定理 §5.3 中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值 在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。 而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是 解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。 如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设?1, ?2, …是独立同分布的随机变量序列，且E(?i)=? ，D(?i)= ? 2 ，i=1,2,…，则 例1、 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 由题 设知，各? i 独立， 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为? i , i=1,2, …,16 E(? i)=100, D(? i)=10000 依题意，所求为P(?1920) 由于E(?) = 1600, D(?) = 160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(? 1920)=1-P(? ?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 =1- 定理2（德莫佛-拉普拉斯定理） 设随机变量?n(n=1,2, …) 服从参数为n,p (0p1)的二项分布 (De Moivre--Laplace) 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 则对任意x，恒有 q=1-p 由定理1有结论成立。 推论： 设随机变量 ?n(n=1,2, …) 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布, 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布 的概率 计算方法。 当 n 充分大时有： 例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 （1）??? 写出X的概率分布 （2）???利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户 且不多于30户的概率的近似值 (2) np=20 npq=16 P{14≤X≤30}≈ =?(5/2)-?(-3/2) =0.9937-1+0.9331=0.9268 解: (1) X～B(100 , 0.2) 例3 P170某单位有1000台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有?部分机同时使用外线，则有 设有N条外线。由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理有 用频率估计概率时误差的估计： 由上面的定理知 用这个关系式可解决许多计算问题。 *