03第三节数列的极限.doc

第三节 数列的极限 极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义. 分布图示 ★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义 ★ 数列的极限 ★ 数列极限的严格定义 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 收敛数列的有界性 ★ 极限的唯一性 ★ 例9 ★ 收敛数列的保号性 ★ 子数列的收敛性 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-3 ★ 返回 内容要点 一、数列的定义 二、数列的极限 论证法，其论证步骤为： （1）对于任意给定的正数, 令 ； （2）由上式开始分析倒推, 推出 ； （3）取 ，再用语言顺述结论. 三、收敛数列的有界性 四、极限的唯一性 五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性 例题选讲 数列的极限 例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值. (1); (2); (3); (4). 解 (1)数列即为 易见,当无限增大时, 也无限增大, 故该数列是发散的; (2)数列即为 易见,当无限增大时,无限接近于0, 故该数列是收敛于0; (3)数列即为 易见,当无限增大时, 无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的; (4)数列即为 易见,当无限增大时, 无限接近于1, 故该数列是收敛于1. 例2 (E02) 证明 证 由，故对任给要使只要即所以，若取则当时，就有 即 例3 设(为常数)，证明 证 因对任给对于一切自然数恒有所以， 即：常数列的极限等于同一常数. 注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的寻找但不必要求最小的 例4 证明其中 证 任给若则若欲使 必须即故对任给若取则当时，就有 从而证得 例5 设且求证 证 任给由 要使即要 对当时， 从而当时，恒有故 例6 用数列极限定义证明 证 由于只要解得 因此，对任给的取则时， 成立， 即 例7 (E03) 用数列极限定义证明 证 由于，要使只要即因此，对任给的取当时，有 即 例8 (E04) 证明：若则存在正整数当时，不等式成立. 证 因由数列极限的定义知，对任给的存在当时，恒有由于故时，恒有 从而有由此可见，只要取则当时，恒有 . 证毕. 例9 (E05) 证明数列是发散的 证 设由定义，对于使得当时，恒有即当时，区间长度为1.而无休止地反复取1，－1两个数，不可能同时位于长度为1地区间. 因此改数列是发散的. 证毕. 注：此例同时也表明：有界数列不一定收敛. 课堂练习 1．设 证明数列 的极限是0.