讲1曲线坐标系5.ppt

φ =C半平面 x y z o P θ r φ φ =C半平面 x y z o P θ r φ θ x y z o 球坐标系与直角坐标系的变换关系 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） π/2+θ φ =C半平面 x y z o P θ r φ 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） φ =C半平面 x y z o P θ r φ 位置矢量 线元矢量 拉梅系数： 体积元 面元矢量 线元矢量 例：以坐标原点为球心半径为a的球，求：（1）球面的面积；（2）球体的体积。 第一章 矢量分析 第1章 矢量分析 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 1. 标量和矢量 矢量的大小或模： 矢量的单位矢量： 标量：任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、电流、电荷是标量。 矢量的代数表示： 1.1 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用 黑体字母或带箭头的字母表示。电场磁场是矢量。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。 2. 矢量的加法和减法 矢量的加法 矢量的减法 结合律 交换律 q 矢量 与 的夹角 3. 矢量的乘法 （1）矢量的点乘（点积，标积） （2）矢量的矢积（叉积） q sin AB q 矢量 与 的叉积 坐标系、坐标变量、坐标分量 位置矢量： 场矢量用坐标分量表示 场矢量 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》，创立了直角坐标系,为后来牛顿(英国,1643-1727)、莱布尼兹（德国,1646-1716）发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 x y z 1.2.1 直角坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 矢量运算 1.2.1 直角坐标系 直角坐标系下的位置矢量 直角坐标系下的场矢量 直角坐标系下的体积元 直角坐标系下的面积元 x y z o dz dsx dsy dsx dsy dsz dx dy dz 1.2.1 直角坐标系 例1：一个长方体，x、y、z方向的长度分别任a、b、c，长方体的电荷密度为x2y4，求此长方体内总的电荷量。 x y z o dz dx dy 1.2.1 直角坐标系 位置矢量 线元矢量 线元矢量与曲线的切向平行 例2：求xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。 的方向指向有向曲线的切线方向 x y x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o 线元矢量 dsx dsy dsz 面元 体积元 坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3 dsx dsy dsz dx dy dz 1.2.3 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 x y z o ρ φ z ρ曲面：ρ =Const圆柱面 坐标曲面 φ曲面：φ =Const半平面 z曲面： z =Const平面 ρ 坐标曲线是坐标曲面的交线。 ρ曲线：φ曲面与z 曲面的交线 φ曲线：ρ曲面与z曲面的交线 z曲线：ρ曲面与φ曲面的交线 坐标单位矢量是坐标曲线的单位切向矢量。 右手螺旋 x y z o ρ P φ z 互相垂直 圆柱坐标系下的场矢量 x y z o ρ P φ z 圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 ρ x y z o ρ P φ z 圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 x y 位置矢量 线元矢量 圆柱坐标系的微分 （线元、面元、体积元） 右手螺旋 x y z o ρ P φ z x y 圆柱坐标系的微分 （线元、面元、体积元） x y z 线元矢量 体积元 面元 圆柱坐标系的微分 （线元、面元、体积元） 线元矢量 x y z 线元矢量 x y z o a 例1：求半径为a高度为h的圆柱侧面的面积。 例2：xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。 x y 1.2.3 球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） φ =C半平面 θ曲线： θ 曲面与φ 曲面的交线 φ曲面与r曲面的交线 φ曲线： r曲面与θ曲面的交线 r曲线： 互相垂直成右手螺旋 x y z o P θ r φ 球坐标系场矢量