坐标系与曲线的极坐标方程.doc

坐标系与曲线的极坐标方程 分层训练A级　基础达标演练 (时间：30分钟　满分：60分) 1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，求点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离． 解　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq \r(3)，1)∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为2. 2．(2013·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，求点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到圆心C的距离． 解　将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为 x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))的直角坐标为(2eq \r(3)，2)，故点A到圆心的距离为eq \r(?0－2\r(3)?2＋?2－2?2)＝2eq \r(3). 3．(2012·常州一中期中)在极坐标系中，已知点O(0,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)))，求以OP为直径的圆的极坐标方程． 解　设点Q(ρ，θ)为以OP为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt△OQP中，ρ＝3eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))， 故所求圆的极坐标方程为ρ＝3eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))). 4．从极点O作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程． 解　设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)． ∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝eq \f(12,ρ). 又M在直线ρcos θ＝4上，∴eq \f(12,ρ)cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P的轨迹方程． 5．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解　圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))， 设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)， ∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ. ∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))，它表示原心在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，半径为eq \f(1,2)的圆． 6．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 解　(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0. (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x2＋y2＋4y＝0，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(①,②)) ①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程． 分层训练B级　创新能力提升 1．求圆心为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，半径为3的圆的极坐标方程． 解　如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，[来源:学|科|网] 则OP＝ρ，∠POA＝θ－eq \f(π,6)， OA＝2×3＝6， 在Rt△OAP中，OP＝OA×cos∠POA， ∴ρ＝6coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).∴圆的极坐标方程为ρ＝6coseq \b\lc