讲曲线坐标系.ppt

* 1. 标量和矢量 矢量的大小或模： 矢量的单位矢量： 标量：任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、电流、电荷是标量。 矢量的代数表示： 1.1 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用 黑体字母或带箭头的字母表示。电场磁场是矢量。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 位置矢量： 场矢量用坐标分量表示 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 （1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 矢量的减法 结合律 交换律 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） q 矢量 与 的夹角 （4）矢量的矢积（叉积） q sin AB q 矢量 与 的叉积 若 ，则 若 ，则 （5）矢量的混合运算 —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积 (1.1.7) (1.1.11) (1.1.12) (1.1.13) (1.1.12) 球坐标系 圆柱坐标系 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 作业：1.8，1.22计算沿逆时针圆周的线积分 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》，创立了直角坐标系,为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。 x y z o dz dx dy 1.2.1 直角坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 牛顿（1643-1727）英国 莱布尼茨（1646-1716）德国 【例1】：求xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。 的方向指向有向曲线的切线方向 x y x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz dx dy 线元矢量 dsx dsy dsz 面元 体积元 坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3 dsx dsy dsz dx dy dz 1.2.3 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 x y z o ρ ·P(ρ,φ,z) φ z ρ曲面：ρ =Const圆柱面 坐标曲面 φ曲面：φ =Const半平面 z曲面： z =Const平面 1.2.3 圆柱坐标系 坐标单位矢量 坐标曲线 φ曲线： φ曲面与z 曲面的交线 ρ曲面与z曲面的交线 z曲线： ρ曲面与φ曲面的交线 单位切向矢量 ρ曲线： 右手螺旋 x y z o ρ P φ z 互相垂直 圆柱坐标系下的场矢量 x y z o x y z o ρ P φ z 圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 ρ x y 右手螺旋 x y z o ρ P φ z x y 圆柱坐标系的微分 （拉梅系数、线元、面元、体积元） 位置矢量 线元矢量 x y z 线元矢量 x y z 线元矢量 体积元 面元 拉梅系数 圆柱坐标系的微分 （拉梅系数、线元、面元、体积元） x y z o a 例2：对半径为a高度为h的圆柱表面积分 例1：求半径为a高度为h的圆柱侧面的面积。 例3：xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。 x y 例4： 沿着xoy面上以原点为圆 心半径为a的的逆时针圆周的第二型曲线积分。 x y 1.2.3 球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面）