概率论与数理统计第七章参数估计第四节︰正态总体参数的区间估计.ppt

作业 习题7-4 1; 4(2); 6 数理统计 数理统计 第四节 正态总体参数的区间估计 一个正态总体 N(μ,σ2)的情况 两个正态总体 N(μ1,σ12), N(μ2,σ22)的情况 一、一个正态总体 X～N(μ,σ2)的情况 X~N(μ,σ2)并设 X1, X2, … Xn为来自总体的样本, 分别为样本均值和样本方差 . 1. 均值 μ的置信区间： 1) σ2为已知: 可得到 μ的置信水平为 1- α的置信区间为: 由: 此分布不依赖于 任何未知参数 由: 2) σ2为未知: 可得到 μ的置信水平为 1- α的置信区间为: 例1: 有一大批糖果, 现从中随机地取 16 袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求:总体均值 μ的置信水平为0.95的置信区间. 解: 这里: 于是得到 μ的置信水平为 0.95 的置信区间为: , 即: (500.4, 507.1). 2. 方差 σ2的置信区间: 可得到 σ2的置信水平为 1-α的置信区间为: 由: 由: 可得到 σ的置信水平为 1- α的置信区间为: χ2(n-1) χ2(n-1) χ2(n-1) 例2: 有一大批糖果, 现从中随机地取16 袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求:总体标准差 σ的置信水平为 0.95 的置信区间. 解: 这里: 于是得到 σ的置信水平为 0.95的置信区间为: 即: (4.58, 9.60). 二、两个正态总体 N(μ1,σ12), N(μ2,σ22)的情况 设 X1, X2, … Xn是来自第一个总体的样本, Y1, Y2, … Yn是来自第二个总体的样本, 这两个样本相互独立, 并设已给定置信水平为 1-α, 且设 分别为第一、二个总体的样本均值, 分别为第一、二个总体的样本方差 . 故: 因为X, Y相互独立, 所以 相互独立. 1. 两个总体均值差 μ1-μ2的置信区间: 1) σ12, σ22为已知 于是得到 μ1-μ2的置信水平为 1-α的置信区间为: 其中: 2) σ12 =σ22 =σ2, σ2为未知 于是得到 μ1-μ2的置信水平为 1-α的置信区间为: 随机地取 I 型子弹 10 发 , 得到枪口速度的平均值为: 标准差为: 随机地取 Ⅱ型子弹 20 发, 得到枪口速度的平均值为: 标准差为: 假设两总体都可认为近似地服从正态分布. 且生产过程可认为方差相等. 例3: 为比较 I, Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度, 求: 两总体均值差 μ1-μ2 的置信水平为 0.95 的置信区间. 解: 可认为分别来自两总体的样本是相互独立的. 又因为由假设两总体的方差相等 ,但数值未知 , 故两总体均值差 μ1-μ2的置信水平为1-α的置信区间为: 其中: 这里: 故两总体均值差 μ1-μ2的置信水平为0.95 的置信区间为: 即: (3.07, 4.93). 2. 两个总体方差比 σ12/σ22的置信区间: (μ1, μ2为未知 ) 由: 即: 于是得到 σ12/σ22的置信水平为 1-α的置信区间为: 例4: 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管的内径, 随机地抽取机器 A生产的钢管18只, 测得样本方差 s12 =0.34(mm2); 随机地取机器 B 生产的钢管13只, 测得样本方差 s22 =0.29(mm2); 设两样本相互独立, 且设由机器 A 和机器 B 生产的 钢管的内径分别服从正态分布 N(μ1,σ12), N(μ2,σ22), 这里 μi,σi2(i =1,