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概率论与数理统计第七章参数估计第一节︰点估计.ppt

发布:2017-05-04约3.86千字共31页下载文档
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作业 习题7-1 3; 4; 5; 8 * 数理统计 数理统计 第七章 参数估计 第一节 点估计 第二节 估计量的评选标准 第三节 区间估计 第四节 正态总体参数的区间估计 *第五节 非正态总体参数的区间估计举例 *第六节 单侧置信区间 第一节 点估计 点估计概念 求估计量的方法 总体 样本 统计量 描述 作出推断 随机抽样 现在介绍一类重要的统计推断问题. 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 例如: 参数估计 估计废品率: 估计新生儿的体重: 估计湖中鱼数: … 估计降雨量: 在参数估计问题中, 假定总体分布形式已知, 未知的仅仅是一个或几个参数. 这类问题称为参数估计. 参数估计问题的一般提法 依据该样本对参数θ 作出估计, 或估计θ 的某个已知函数 g(θ). 现从该总体抽样, 得样本 X1, X2, …, Xn, 设有一个统计总体, 总体的分布函数为 F(x, θ),其中θ为未知参数 (θ可以是向量) . 参数估计 点估计 区间估计 (假定身高服从正态分布 N(μ, 0.12)) 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计 μ为1.68, 这是点估计. 估计 μ在区间 [1.57, 1.84] 内, 这是区间估计. 例如: 我们要估计某队男生的平均身高. 现从该总体选取容量为5的样本, 我们的任务是要根据选出的样本(5个数) 求出总体均值 μ的估计. 而全部信息就由这5个数组成 . 随机抽查100个婴儿, 得100个体重数据: … 10, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 据此,我们应如何估计 μ和 σ呢? 而全部信息就由这100个数组成 . 例如: 已知某地区新生婴儿的体重 N(μ, σ2), (μ, σ 未知). 我们知道,若 N(μ, σ2),由大数定律: 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计. 样本体重的平均值 用样本体重的均值 类似地,用样本体重的方差 为估计μ: 为估计σ2: 为估计总体分布的参数(如 μ和 σ2等) 我们需要构造出适当的样本的函数 f(X1, X2, … Xn) 称为参数的点估计值(estimate). 称为参数(一般用θ)的点估计量(estimator), 一、点估计概念(Point Estimation) 每当有了样本, 代入该函数中算出一个值, 用来作为参数的估计值. 例1: 设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中 随机地抽取了10只灯泡, 测得其寿命为(单位:小时): 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的标准差. 解: 二、求估计量的方法 a. 矩估计法(the method of moments) b. 极大似然法(the method of maximum likelihood) c. 贝叶斯方法(the method of Bayes) …… 依概率收敛定义 定义: 注意: 如 意思是: a 时, 内的概率越来越大. Xn落在 当 1. 矩估计法 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的 . 由大数定律, 若总体 X 的数学期望 E(X)= μ 有限, 则有: 这表明, 当样本容量很大时, 在统计上, 可以用样本k阶原点矩去估计总体k阶原点矩(替换原理). 这一事实是矩估计法的理论基础. 1)定义: 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 例2: 设总体 X 在 [a, b] 上服从均匀分布, a, b未知. 解: X1, X2, …, Xn 是来自 X 的样本, 试求 a, b的矩估计量 . 即: 解得: 总体矩 于是 a , b 的矩估计量为: 样本矩 一般都是这 k 个参数的函数,记为: 从这 k 个方程中解出: j=1,2,…,k 那么用诸 μi 的估计量 Ai 分别代替上式中的诸μi, 即可得诸 θj 的矩估计量 : 矩估计量的观察值称为矩估计值 . 2) 矩估计法的具体做法如下: 设总体的分布函数中含有 k个未知参数: θ1, θ2, …, θk, 那么它的前 k 阶矩: μ1, μ2, …, μk, μi=μi(θ1, θ2, …, θk), i=1, 2, …, k θj= θj(μ1, μ2, …, μk), j=1, 2, …, k I. 参数用总体矩来表示 II. 样本矩代替总体矩 得: 于是 μ, σ2 的矩估计量为: 总体矩
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