概率论与数理统计(参数的点估计)精要.ppt

第7章 参数估计 7.1.1 点估计问题的一般提法 定义7.1 设总体X的分布函数F(x；?1，?2，…，?m)的形式已知，但其中含有一个或多个未知参数：?1，?2，?，?m， 又设X1，X2，…，Xn为总体的一个样本， x1，x2，…，xn是样本观测值， 构造的m个统计量： 用 的观测值 作为未知参数?i的近似值的方法称为点估计法． 7.1.1 点估计问题的一般提法 称 为未知参数?i的估计量， 称 为未知参数?i的估计值． 在不会混淆的情况下 和 均可称为?i的估计. 7.1.3 最大似然估计 若X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，当样本观测值x1, x2 ,…, xn出现时， 若要估计总体X中的未知参数θ，自然要选取使x1, x2,…, xn出现的“概率”达到最大的 作为θ的估计值了． 7.1.3 最大似然估计 【例7.5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，x1，x2，…，xn是样本观测值．基于x1，x2，…，xn的似然函数为 当 时， ， 7.1.3 最大似然估计 令 解得 考虑到 所以，θ的最大似然估计值为 θ的最大似然估计量为 7.1.3 最大似然估计 【例7.4】总体X服从参数为?的泊松分布，?（? 0）未知，求参数?的最大似然估计量． 解：设X1, X2,…, Xn是来自X的样本，x1, x2,…, xn是样本观测值．由于X的分布律为 故基于x1, x2,…, xn的似然函数为 对数似然函数为 对数似然方程为 7.1.3 最大似然估计 解之得 考虑到 所以 即为?的最大似然估计值，?的最大似然估计量为 7.1.4 估计量的评价标准 7.1.4 估计量的评价标准 所以，B2不是总体方差D(X)的无偏估计，尽管B2是D(X)的矩估计量． 我们可以把 看作对B2的修正． 由于它具有无偏性，在实际应用中常被采用． 另一方面，由于 因此，又称B2是D(X)的渐近无偏估计． 7.1.4 估计量的评价标准 【例7.8】求证：样本标准差S不是总体标准差? 的无偏估计． 证：因为 ，即 ． 又因 ，所以 即 故一般来说，S不是? 的无偏估计． 7.1.4 估计量的评价标准 定义7.3 设 　 都是参数θ的无偏估计，若 则称 比 有效． 例如，设总体X的方差存在，X1, X2,…,Xn(n2)为总体X的一个样本， 易知 , 均为? 的无偏估计, 又有 所以,当n2时，　最有效， 较X1有效． 7.1.4 估计量的评价标准 【例7.9】设总体X服从参数为θ的指数分布，概率密度为 其中θ0为未知,X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本，试证 和 都是θ的无偏估计，并比较谁更优． 解：因为 而 所以 故　是θ的无偏估计． 7.1.4 估计量的评价标准 设 ， 根