西工大-概率论与数理统计：参数的点估计.ppt

设总体 服从区间 上的均匀分布, 试求参数 矩估计量和最大似然估计量 . 解 其观测值为 ， 故 即 的矩估计量为 设 是总体 的样本, 例10-1 总体 的分布密度为 则似然函数为 估计量为 当 时 达到最大, 故 的最大似然 特殊情形总结：当似然函数是参数的严格单调函数时，利用似然函数的定义直观得到参数的最大似然估计。 （1）当似然函数是参数的严格单调增函数时，参数最大似然估计值取其取值范围内最大值点。 （2）当似然函数是参数的严格单调减函数时，参数最大似然估计值取其取值范围内最小值点。 （3）当似然函数是参数的常函数时，参数最大似然估计值取其取值范围内任一点。 两种求点估计的方法: 矩估计法 最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法. 内容小结 第二次捕出的有记号的鱼数X是r.v, X具有超几何分布： 试用最大似然法估计湖中的鱼数. 为了估计湖中的鱼数N，第一次捕上r条鱼，做 上记号后放回. 隔一段时间后, 再捕出 S 条鱼, 结果发现这S条鱼中有k条标有记号. 根据这个 信息, 如何估计湖中的鱼数呢? 思考题 应取使L(N;k)达到最大的N, 作为N的最大似然估计. 把上式右端看作N的函数，记作L(N;k) . 经过简单的计算知，这个比值大于或小于1， 或 而定 . 由 但用对N求导的方法相当困难, 我们考虑比值： 经过简单的计算知，这个比值大于或小于1， 或 而定 . 由 这就是说，当N增大时，序列P(X=k;N)先是上 升而后下降; 当N为小于 的最大整数时, 达到最大值 . 故N的最大似然估计为 解 则X1,X2,…,Xn是取自B(1, p)的样本，p是每次抽取 时取到白球的概率，p未知 . 先求 p 的最大似然估计： 一罐中装有白球和黑球，有放回地抽 取一个容量为n的样本，其中有 k 个白球， 求罐中黑球与白球之比 R 的最大似然估计. 备用题例9-1 我们容易求得 由前述最大似然估计的性质不难求得 p的最大似然估计为 的最大似然估计是 设总体 服从 对于容量为 的样本, 求使得 的点 的最大似然估计. 解 设 为来自总体 的一个样本, 可求得 与 的最大似然估计分别为 例10-2 由 则 查表得 故 的最大似然估计 高斯(Carl Friedrich Gauss，1777～1855) 德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉并列，同享盛名。 高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 /view/2129.htm Gauss 在数理统计中称统计量 点估计常用方法：矩估计和最大似然估计法. 解决上述参数 的点估计问题的思路是: 设法 作出合理的估计 . 的估计值 . 构造一个合适的统计量 , 对 为 的估计量, 的观测值 称为 矩估计法是由英国统计学家 矩估计法的基本思想是用样本的 阶原点矩 去估计总体 的 阶原点矩 ; 皮尔逊(K.Pearson)在1894年提出. 用样本的 阶中心矩 去估计总体 并由此得到未知参数的估计量 . 二、矩估计法(Method of Moment) 的k阶中心矩 存在， 现用样本矩作为总体矩的估计，即令 这便得到含 个参数 的 个方程组, 解该方程组得 以 作为参数 的估计量. 这种求出估计量的方法 称为矩估计法 . 矩估计法的具体步骤: 注 这里要求方程组 中方程的个数= 待估参数的个数. 设总体 服从泊松分布 , 求参数 的 矩估计量 . 解 设 是总体 的一个样本, 由于 可得 例4 解 设 是总体 的一个样本， 容易求得 设总体 服从区间上 的均匀分布, 求参数 的矩估计量. 例5 故令 解得 和 的矩估计量为 求总体 的均值 和方差 的矩估计. 解 设 是总体 的一个样本，