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第4章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差、相关系数及矩 §4.1 数学期望 4.1.5 数学期望的性质 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质 小结 设随机变量 X 的分布律为 解 求随机变量 Y = X 2 的数学期望. X pk -1 0 1 Y pk 1 0 设随机变量 X 的概率密度为 数学期望的定义 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 小结 练习 引例1 分赌本问题 (产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定先胜三局者为胜, 取得全部 200 元. 由于出现意外情况 , 在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平? A 胜 2 局 B 胜 1 局 前三局: 后二局: 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合, 即 A、B 赌完五局, A A A B B A B B A 胜 B 胜 分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 因此, A 能“期望”得到的数目应为 而B 能“期望”得到的数目, 则为 故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的 因而 A 期望所得的赌金即为 X 的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加. 即为 若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为: 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数 (分). 即 引例2 成绩问题 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 4.1.1 数学期望的定义 1. 离散型随机变量数学期望的定义 分赌本问题 “A 期望所得的赌金”即为 X 的数学期望 成绩问题 “学生的平均成绩”应为随机变量Y ={学生成绩}的数学期望 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同. (1) E(X)是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. 2. 连续型随机变量数学期望的定义 数学期望简称 期望, 又称均值 4.1.2 离散型随机变量数学期望 试问哪个射手技术较好? 例1 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技术比较好. 例2　商店的销售策略 解 到站时刻 概率 例3 解 解 因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务. 例4 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间? 4.1.3 连续型随机变量的数学期望 例5 设 X 是一个随机变量，其概率密度为 解 4.1.4 随机变量函数的数学期望 (1) 若 X 是离散型随机变量，且其分布律为 设 Y = g ( X ) ( g 是连续函数) 则有 定理 (2) 若 X 是连续型随机变量, 且其概率密度为 f (x) , 则有 推广 (1) 若 ( X, Y ) 是二维离散型随机变量 , 其分布律为 设 Z = g ( X, Y ) ( g 是连续函数) 则有 (2) 若 ( X, Y ) 是二维连续型随机变量, 其概率密度为 f (x, y) , 则有 例6 设随机变量 X 的分布律为 X