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NORTH UNIVERSITY OF CHINA 数 字 特 征 数 学 期 望 方 差 相 关 系 数 第三章 引言 把刻划随机变量某些特征的确定的数值称为数字特征. 反映随机变量取值的分散程度——方差 反映两个随机变量的线性关联程度——相关系数 反映随机变量取值的集中位置——数学期望 第三章 数 学 期 望 第 一 节 一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 引例： 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出 甲: 击中环数 X 概率 8 0.3 9 0.1 10 0.6 乙: 击中环数 Y 概率 8 0.1 9 0.6 10 0.3 试问哪个射手技术较高? 一. 随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 现在我们以其平均射中的环数多 少来评定他们技术的 在上面问题中, 他们打中的总环数大约是: 甲: 乙: 平均起来, 甲每次射中9.3环, 乙每次射中9.2环, 故甲的 优劣. 若让甲、 乙两射手各射击 N次， 则 射击水平略胜于乙. 设离散型随机变量 X 的分布列为 若级数 绝对收敛, 则称此级数 的和为X的 数学期望, 简称期望, 记为 〈1〉定义: pi 40 20 0 -30 X 解： 例1. 设用一均匀的骰子赌博.在一次游戏中,若出现2点, 则该人可赢20元,出现4点赢40元,出现6点则输30元, 若出现其它点不输不赢.求玩游戏的人赢得钱数的期望. 令X表示在一次抛掷中赢得的钱数,则 因此若游戏是公正的,则玩者为参加游戏应当付5元底金. 设连续型随机变量X的概率密度函数为 并且广义积分 绝对收敛, 则称此积分值为 X的数学期望, 记为 2. 连续型随机变量的数学期望 〈1〉定义: 设随机变量 的概率密度函数为 求 解: 由定义可知: 例2. 而 绝对收敛, 则有 二. 随机变量函数的数学期望 1. 定理: 设 为连续函数 若 ① 若 ② 而 绝对收敛, 则有 0.3 0.3 0.4 P 2 0 -2 X 例3. 设X~ 求:① ② 解: 2 6 0 2 例4. 对圆的半径作近似测量，假设其值X均匀的分布在 内，即 求圆的面积的数学期望. 解： 设Y表示圆的面积，则