概率论§4.1 数学期望.ppt

(1) (0-1)分布（即两点分布） X～B(1, p) * * 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.4 矩和协方差矩阵 §4.2 方差 §4.3 协方差和相关系数 引例：某大学一位教师给15位研究生上课，期末考试成绩如下： 72，81，90，85，76，90，80，83 78，75，63，73，30，82，90 教学院长认为：试题太容易，因为得90分的就有3人！ 系主任认为：考题偏难，因为平均成绩76.5分！ 该教师认为：考题适宜，因为从总体看80分是有代表性的，多于80分和少于80分的人数相等！ 究竟谁的话更有道理？ 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。 评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平； 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量； 考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义。 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 随机变量的平均取值 —— 数学期望 随机变量的取值平均偏离平均值的情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 数 字 特 征 定义 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X = xk}= pk (k=1,2,…) 若级数 绝对收敛，即 通常记数学期望为E(X ) 则称 为X 的数学期望，简称期望或均值。 离散型随机变量的数学期望 §4.1 数学期望 例1 已知离散型随机变量X的可能值为 x1= ?1, x2=0, x3=1， 且E(X)=0.1, E(X2)=0.9。 求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3。 解: 并且 p1+p2+p3=1 E(X)=(?1)?p1+0?p2+1?p3=0.1 p2 p1+p3 P 0 1 X2 ?E(X2)=0?p2+1?(p1+p3)=0.9 计算可知 p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5 常见离散型分布的期望 1?p p P 0 1 X 数学期望 E(X)=0?(1?p)+1?p = p 随机变量X取0与1两个值，其概率分别为 1-p和p，分布律为 (2) 二项分布 X～B(n, p) (3) 泊松分布 X～P(?) 令i=k?1 可得 =? e?? e? =? 常见离散型随机变量的数学期望 分布 数学 期望 概率 分布 参数为p 的 0-1分布 p 二项分布 B(n,p) np 泊松分布 P(?) ? 定义 设连续型随机变量X 的概率密度为f (x)。 若积分 绝对收敛，即 则称积分 为X 的数学期望。 通常记为E(X) 连续型随机变量的数学期望 常见连续型分布的期望 (1) 均匀分布 X～U (a,b) = X的概率密度为 由定义可知 X 的数学期望为 (2) 指数分布 = X的概率密度为 由定义可知 X 的数学期望为 利用定积分公式 (3) 正态分布 X～(? ,?2) 令 可得 =? X的概率密度为 由定义可知 X 的数学期望为 奇函数和偶函数的乘积 分布 数学 期望 概率 密度 区间 (a, b)上 均匀分布 指数分布 E(?) 正态分布 N(?,? 2) 常见连续型随机变量的数学期望 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望。那么应该如何计算呢？ 随机变量的函数的数学期望 一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来。一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来. 但是使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。 是否可以不求g(X)的分布而只根据X 的分布求得E[g(X)]呢？ 下面的两个基本定理指出，答案是肯定的。 下述两个定理的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X 的分布就可以了。 这给求随机变量函数的期望带来很大方便。 定理 设