高等数学——无穷小量与无穷大量.doc

无穷小量与无穷大量 1.4.1无穷小量 定义1.4.1 若函数当时的极限为零，则称为当时的无穷小量，简称无穷小。记作 注： （1）包括，，，，，等各种情况。本书中其他地方出现时均作此理解。 （2）通常，无穷小用、、等字母来表示。 特别地，以零为极限的数列也为无穷小。 【例1】 （1）因为，所以函数为当时的无穷小； （2）因为，所以函数为当时的无穷小。 注：（1）根据定义，无穷小本质上是这样一个变量（函数），在某变化过程中，它的绝对值能小于任意给定的正数。因此无穷小不能与很小的常数混为一谈。但零是可以作为无穷小的唯一常数。 （2）无穷小是相对于自变量的某一变化过程而言的，例如，当时，是无穷小，而当时，不是无穷小。 1.4.2无穷小与函数极限的关系 定理1.4.1 在自变量的某一变化过程中，函数具有极限的充分必要条件是，其中是自变量同一变化过程中的无穷小。即 ， 其中是时的无穷小量。 1.4.3无穷大量 定义1.4.2 如果当时，函数的绝对值无限增大，则称函数为当时的无穷大量，简称无穷大。 注：（1）当时为无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作 （2）无穷大也是相对于自变量的某一变化过程而言的，例如，函数，当时，是无穷大量，而当时，是无穷小量，当时，既不是无穷大量也不是无穷小。 （3）常数的绝对值无论多么大都不是无穷大。 *（4）无穷大量与无界变量是有区别的：无穷大一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。例如，函数 当时是一个无界变量, 但不是无穷大。 定义1.4.3 当时，若函数且无限增大，则称函数为当时的正无穷大量，简称正无穷大；若函数且无限增大，称函数为当时的负无穷大量，简称负无穷大。 记作 或 【例2】（1）因为 ，故函数是当时的无穷大； （2）因为，故函数是当时的正无穷大。 1.4.4无穷小与无穷大的关系 定理1.4.2 在自变量的同一变化过程中，若是无穷大，则是无穷小； 反之，若是无穷小，且，则是无穷大。 （证明略） 习题 1．判断题： （1）是无穷小。 （2）当时，为无穷小。 （3）在自变量的同一变化过程中，无穷小的倒数是无穷大。 （4）非常小的数是无穷小。 2．以下数列是否是无穷小量？ （1）； （2）。 3．当趋向何值时，下列函数为无穷大量？ （1）； （2） ； （3）。