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数学应考必备 第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 内容要点 基本概念与性质 原函数与不定积分的概念 设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为。 其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积 表达式。 不定积分的性质 设＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。 则 (1)＝F(x)＋C 或＝F(x)＋C (2)= f(x) 或 d＝f(x)dx (3)＝k (4)= 3、原函数的存在性 设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如， ，，， ，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 基本积分表（略） 换元积分法和分部积分法 第一换元积分法（凑微分法） 设=F(u)+C=F[]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。 第二换元积分法 设x＝可导，且，若 ，则 其中t＝为x＝的反函数。 分部积分法 设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则＝u(x)v(x)－或＝u(x)v(x)－ （1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为；多项式部分为u（x）。 （2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)为n次多项式取P(x)为，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 典型例题 求下列不定积分（测试题，限15分钟） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （） 例2、求下列不定积分 （1） （2） （a） （3）（） （4） 解：（1）＝＝＝ = （2）＝ ＝ ＝ ＝－ （3）= = （4）==＝ 例3、 求 解： ＝ 6＝ 6 ＝6＝2 =2-3 例4、求 解一：＝ ＝＝－=-(这里已设x0) 解二：倒代换 ＝ ＝－ 原式＝－＝=(x0) 例5、求 解一：＝x(arcsinx)—=x—2 =x+2 = x+2 = x+2 = x+2arcsinx－2x+C 解二：令arcsinx＝t，则x＝sint ， ＝ ＝＝ ＝＋2tcost－2sint +C =x+2 例6、设f（x）的一个原函数F（x）＝，求I＝ 解：I＝＝xf（x）－＝x = － ＋C 例7、设，当x时 f(x)F(x)＝ ，又F(0)＝1，F(x)0， 求f（x）（x 解：2＝2＝ 而＝＝ =+－＝＋ ＝＋C ，，C=0，又， 因此 则 f（x）＝＝ 例8、设＝，求I＝ 解一：令u=，则sinx＝，x＝arcsin，f(u)= 则 I＝＝－＝－2 ＝－2＋2 ＝ －2＋＋C 解二：令x＝，则，dx＝2costsintdt， 则I＝ ＝－2tcost＋2＝－2tcost＋2sint＋C ＝－2＋2＋C §3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法 （甲）内容要点 定积分的概念与性质 定积分的定义及其几何意义 定积分的性质 中值定理，设f（x）在上连续，则存在使得 定义：我们称为f（x）在上的积分平均值。 基本定理 变上限积分的函数 定理：设f（x）在上连续，则在上可导，且 推广形式，设＝，可导，f(x)连续， 则＝ 牛顿－莱布尼兹公式 设 f（x）在上可积，为f（x）在上任意一个原函数，则有＝＝ 三、定积分的换元积分法和分部积分法 1、＝（x＝在上有连续导数，单调，） 2、 四、广义积分 定积分的积分区间是有限区间，又f（x）在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。 无穷区间上的广义积分 定义： 若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。 ＝ 同样有收敛和发散的概念